——对课堂教学中存在的几种状态的案例分析

华东师范大学教育学系 吴亚萍

如果以互动生成的新教学过程观[1]来反观当前的小学数学课堂教学，我们可以发现教师关于互动生成问题的认识水平不同，其教学过程中的开放程度也就不同，教学中的互动生成也因此而呈现出不同的状态。本文为《论小学数学教学的互动生成》系列文章的第二篇，主要以案例的方式来展现小学数学课堂教学过程中不够开放、虚假开放、盲目开放的不同状态。在这几种不同的开放状态中，教师经常“遭遇”的问题就是，在怎样的情况下学生的基础性资源有生成的可能？学生生成的基础性资源怎样才能成为师生、生生的互动性资源？我们将通过案例分析的形式对这些问题作出回答，从而揭示教学过程中师生之间无法形成互动的深层原因。

(一)

教学中存在的第一种状态是“不够开放”的状态，主要表现在两个方面：一是问题的设计不够开放，二是教学的过程不够开放。问题设计的封闭现象，主要表现在通过铺垫暗示的方式引导学生解决问题，或者是通过指令的方式要求学生进入学习状态，不注意思考学生学习的内在需求的激发。教学过程中常见的封闭现象，主要有“小步走慢慢走”的现象，教师或个别学生“替代思维”的现象，教师对学生状态“视而不见”的现象等等。

在课堂教学改革日益深化的今天，教学过程封闭的现象，如小问题设计的“小步走慢慢走”现象已经有了很大程度的改观。然而，由小问题设计向大问题设计转变，注意了问题设计的“大”，并不意味着问题会自然而然地开放。下面两个案例就是因为问题设计的封闭，从而导致了教学过程开放程度的不够。

[不够开放的案例]              

案例一：五年级“能被3整除的数的特征”的教学引入。某老师设计了一个投骰子组数的游戏：请学生投三次骰子，随机得到三个数字，用这三个数字组成一个三位数，记录在下表中，然后观察那些能被3整除的数有什么特征，问学生发现了什么。

由于三个数字可以组成六个不同排列的三位数，如1，2，3三个数字可以组成123，132，213，231，312，321，这些数能被3整除；又如1，2，4三个数字可以组成124，142，214，241，412，421，这些数不能被3整除。在这里六个不同排列的三位数就成为学生发现能被3整除的数的特征的一个铺垫，老师期望有了这个铺垫，学生就能很容易地发现能被3整除的数的特征：与数字的排列位置没有关系，而与每一个数位上的数的和有关。

然而，在具体的教学实践中，大部分学生不知道其中的奥妙所在，表现出很茫然的状态：有的学生通过投骰子虽然得到下二个数字，但不知道怎么填写这张表，就在一个空格内填写一个数字；有的学生虽然知道三个数字可以组成六个三位数，但由于通过投骰子确定的三个数字具有随机性，到活动停止还没有得到能被3整除的数；有的学生虽然比较顺利地完成了表格的填写工作，但表格中能被3整除的数只有六个，很难一下就寻找出其中的规律所在……凡此种种的表现，反映了大部分学生显然不领老师的情，他们不太情愿进入老师设计的“圈套”。当然，总是有个别的学生会很配合老师，他们既完成了表格的填写，又“发现”了能被3整除的数的特征。

案例二：五年级“素数与合数”的教学引入。某老师设计了一个拼长方形的游戏：请学生用几个正方形来拼长方形，然后观察那些“只有一种拼法的”是用几个正方形拼成的，思考这些数有什么特点；那些“有多种拼法的”又是用几个正方形拼成的，思考这些数又有什么特点。

由于“只有一种拼法的”情况，拼成长方形的正方形个数刚好是个素数，“有多种拼法的”情况，拼成长方形的正方形个数又刚好是个合数，所以老师期望“只有一种拼法”与“有多种拼法”的区分成为学生发现素数与合数的一个铺垫。但是这个铺垫却让学生陷入了云里雾里。第一，“只有一种拼法”与“有多种拼法”的区分只能将数分为两类，还很难与这些数的约数的个数建立直接的联系；第二，按照这个铺垫设计的逻辑，1就变成了素数，因为1应该属于只有一种拼法的一类(正方形是特殊的长方形)。这又该如何解释呢？当然老师往往会自圆其说，“因为一个正方形不能拼成长方形，所以1很特殊”，但这样的解答又比较勉强，学生只能服从老师，还是以老师说的为准吧！

◆问题反思

以上两个案例表现出一个共同的特征，就是老师显然是在知道结论的前提下，才会设计出这样的游戏。道理很简单，要发现的结论与游戏之间并没有本质的内在联系，只是一种偶然的巧合而已。同时我们又隐隐地感到这些铺垫似乎就是为了获得某个规律或结论，教学也似乎就是为了寻找规律而教。

当然，从教师直接传授知识到教师铺垫后的学生自己探索和发现知识，自然是一种进步。但是，我们又必须直面问题：是否每节课都能为学生进行这样的铺垫设计？倘若今后离开教师的这些铺垫设计，学生又何以独立开展探索发现和研究？前人在探索发现和研究的过程中是否也有人为他们进行铺垫呢？数的整除这个单元知识的学习应怎样发挥载体的作用，培养学生怎样的研究意识和能力？

◆教学重建

如果我们把研究视角从一个个知识点中跳出，整体地分析和研究“数的整除”整个单元知识的结构和联系，就会发现这个单元的知识之间具有共同的内在关联：这些知识的学习几乎都可以确定相关的研究路径、研究范围和研究材料。因为“数的整除”单元知识实际是对自然数范围内的数的特性展开研究，而要对数的特性展开研究，大多离不开具体的研究路径、研究范围、研究材料的确定。如果藉助于数的整除这个单元的知识学习，使学生把握这种研究的方法，那么教学的载体作用和育人价值就有可能得到具体的体现。

以能被3整除的数的特征研究为例。首先，要确定研究的路径。由于一个能被3整除的数一定是3的倍数，所以不妨从3的倍数出发去研究它们的特征所在。其次，要确定研究的范围。一般可以先确定一个相对较小范围进行研究，如果能发现结论，再验证这个结论在其他的范围内是否都能成立；如果不能发现结论，还要再适当扩大研究范围。教学时，还可以注意利用小组4人合作开展研究的有利条件，每个人研究一个范围，4个人连续的小范围就构成一个相对较大的研究范围。如第一人从50—100，第二人从100--150，第三人从150—200，第四人从200—250，4个人合起来的研究范围就是50--250之间。最后，要确定研究的材料。确定了研究范围之后，就可以有序地罗列这个范围内的3的倍数。之所以要有顺序地排列，是因为排列有规律才容易观察和发现，如果排列杂乱无章，即使有发现也可能是出于偶然。

(二)

教学中存在的第二种状态是“虚假开放”的状态，是指问题设计虽然开放，但课堂教学的重心没有下放。学生进入学习的基础性状态无法展现出来，教学也就无法针对着学生初始的实际状态来展开，很难保证每一个学生在原有基础上得到真实的发展。因此，如果仅有问题设计的开放，那么只是一种虚假的门面装饰而已。

[虚假开放的案例]

某教师在教学“乘数是一位数的乘法(进位)”时，出示题目23×2，请学生改变算式中的任一数字，使其积有进位。教师向学生提出问题以后，又要求学生以小组为单位进行合作，并把思考结果填写在老师发下的练习纸口口×口=口口(竖式形式)上。小组活动开始后，9个小组的组长自觉承担起填写练习纸的工作。小组活动结束后老师把九个小组填写的练习纸呈现在黑板上：26×2=52，23×4=92，23×9=207，27×2=54，23×8=184，25×2=50，53×2=106，93×2=186，63×2=126。

◆问题反思

这是一个问题设计开放的教学片断，从呈现的结果来看，学生计算不但正确而且思维很开放，这至少让我们看到了学生有巨大的潜能可以开发。但在问题解决的过程中，只有9个学生有机会参与问题解决的过程，其他学生只是“旁观者”，没有参与的机会，组长起着“替代”全班学生“思维”的作用。由于组长的“替代思维”，不同学生的不同学习状态的各种基础性资源就无法生成，互动也因缺乏作为前提条件的互动性资源而无法形成。于是，问题设计开放的教学变成了一个“虚假开放”的封闭式教学。

由这个案例还引出了许多值得我们思考的问题：第一，学生学习该内容的前在状态究竟如何？哪些学生已有了解且掌握程度如何？哪些学生还没有接触过？第二，是否人人都能填写出如此正确的结果？如果人人都能正确计算，该内容的教学又应如何进行？如果有人还不能正确计算，教学如何使他们有机会、有思考、有体验？这些问题归结起来可以概括为一个问题，即如何通过真实的教学让每个学生在原有基础上有所发展？为了回答这些问题，我们用下面的案例给出教学的重建。

◆教学重建

某教师关于“乘数是一位数乘法”的教学片段如下：

首先，教师提出问题：17×3是多少，如何计算？请学生独立思考并进行计算。学生开始动笔计算，教师下去巡视，边巡视边同时把学生解决问题的不同状态呈现在黑板上：(1)17×3=31(竖式)，(2)17×3=51(竖式)，(3)17×3=321(竖式)，(4)17×3=123(竖式)，(5)l0×3=30，7×3=21，30+21=51(分步用横式计算)。

接着，教师请学生以小组为单位对黑板上的几种情况展开讨论，讨论的问题是：你认为哪些是对的，哪些是错的，为什么？

然后，在生生互动的基础上，进行全班交流讨论。讨论情况如下：

S1：17×3=31是错的，他忘记了进位。

S2：17×3=51是对的，我想提个问题考考大家，十位上1×3=3，为什么积的十位上是5？

S3：十位上的3要加个位满二十进上来的2等于5。

S4：那么3个十和2个十为什么不是相乘而是相加呢？

T：这是个好问题!谁能回答？

S5：十位上原来有3个十，又进上来2个十，合在一起用加法。

T：这是从竖式计算的角度来回答的。从分步用横式计算的角度来看一看呢？

S6：17×3就是有17个3连加，可以看作10个3连加，再加上7个3连加，10×3=30，7×3=21，所以3个十加2个十再加1是51。

T：为什么把17个3拆成10个3连加和7个3连加两部分？拆成8个3连加和9个3连加两部分可以吗？(通过比较性的有效反问，帮助学生清晰分拆的道理)

S7：可以的，8×3=24，9×3=27，24+27=51。

S8：不好，这样算太麻烦了！10×3的结果是整十数，与后面21相加比较方便。

T：再比较一下竖式和分步计算，这两者之间有什么联系吗？(帮助学生沟通不同方法之间的内在联系)

S9：一样的。竖式也是分两步计算的，先算个位7×3，再算十位10×3，但很容易忘记进位的。

T：说得很好!还有同学要发表意见吗？

S10：17×3=321是错的，17×3连100都不到呢？(学生对计算结果的范围很敏感)

S11：我知道怎么错的，个位上3×7=21就写下来，十位上l×3=3没地方写了，就写到21的前面去了，所以错了。但是17×3=123不知道是怎么算错的。(学生与学生之间比较容易沟通，他们能够明白彼此之间产生错误的原因)

S12：我是估算的，把17看成20，3个20是60，所以17×3不到60，怎么可能是123呢？(估算已然成为学生的自觉意识)

在这个案例中可以看到，学生从正反两方面对错误进行了分析和判断，不但找到了错误的原因，还能用估算对计算结果的可能范围进行正确的判断。说明学生估算的意识已初步形成，而且能在具体的情境中灵活自觉地加以运用。这正是教学富有活力的动态生成过程的具体表现。

我们还可以进一步看到，教师不仅注意将教学的重心下放，将思考和解决问题的机会面向每个学生，使学生中的问题和差异暴露出来；而且信息的采集也面向每个学生，努力地发现和关注学生的问题和差异，还注意选择有代表性的信息进行回收，把这些反映学生基础性状态的资源作为生生、师生之间的互动性资源；更难能可贵的是，教师不急于解决这些计算中的错误，而是通过小组和全班学生的讨论与交流，通过师生、生生的思维碰撞，帮助同伴解决思维过程中产生的障碍，教学呈现出了一种真正开放的状态。正是这种面向每个学生思维的开放，正是这种对不同学生生成的资源的有效利用，形成了生生、师生之间的有效互动，课堂就互动生成了许多新的见解。学生在思维互相碰撞的过程中，明白了错误产生的原因，知道了如何确定计算结果的范围，以及笔算要进位的原理。这种学习是比较真实有效的数学学习。

(三)

教学中存在的第三种状态是“盲目开放”的状态，是指问题设计开放，教学的重心也下放到每一个学生，学生解决问题的不同状态虽然得以展现，但教师对开放的目的不够清晰，所以在教学过程中表现出比较盲目的状态，对学生不同的信息和资源缺乏捕捉和回收的意识，师生和生生之间也因互动性资源的缺乏而无法展开真实的互动。这是一种典型的为开放而开放的教学状态。

[盲目开放的案例]

某教师教学“除数是一位数除法的估算”。老师呈现问题：三年级学生去春游，3个班需要饮料312瓶，平均每班大约需要多少瓶饮料？学生立即动笔独立计算，老师到学生中间进行巡视。笔者在巡视中发现学生有以下几种情况：

第一种：估算312÷3≈100；

第二种：精确计算312÷3=104；

第三种：先精确计算312÷3=104，再把104估成100，写作104 100；

第四种：计算错误，312÷3=14(商中间0没有占位)。

在课后的交谈中得知该教师也发现了上述情况。但是教师对学生表现出来的这些状态却视而不见，只是请了两名用估算方法且计算正确(第一种情况)的学生上黑板示范，接着教师把黑板上学生示范题目的过程讲解一遍，提醒学生题目中有“大约”二字，所以要用“估算”的方法。

◆问题反思

在这个案例中，教师的教学重心是下放了，提供了每个学生解决问题的机会，使问题向每一个学生的思维开放，学生的基础性资源就得以生成，不同学生表现出了各种各样的思维状态。那么这些资源能否成为师生的互动性资源呢？这又要取决于教师对于学生信息的回收状况。本案例中教师只展现了正确结果，其他信息都没有回收，学生在课堂中生成的基础性资源都白白浪费了，所以师生之间也因互动性资源的缺乏而无法形成真实的互动，教学呈现出“盲目开放”的状态。

教师发现了学生存在着诸多问题和差异，为何视而不见？教师“惧怕”和回避学生的问题是有原因的，一是有可能学生的这些问题是教师意料之外的，因为通常教师备课的教案上只备了正确答案；二是学生的这些问题有可能是教师意料之中的，选择学生正确的答案是因为教师要遵循教案预设的答案，关于正确答案以外的问题讨论将影响教案的演绎，这种“教案剧”使教师以自己的教案程序为中心而“目中无人”，忘记了眼前是一群充满不同的情感期待和知识需求的学生，关注了教案而没有关注“人”的真实状态和需求。真实的课堂教学意味着师生之间一种既有确定“教学目标”又充满着不确定性的“对话”的真实生活，而所有的这些“不确定性”是因为教学中学生存在着差异，是学生作为一群活生生的“人”渴望教师给予个别化关怀和知识指导。因此，关注学生的问题和差异成为课堂教学的真实需要。

◆教学重建

本案例中教师反复提醒学生看见题目中有“大约’’二字就要“估算”。像这样的教学非但不可能让学生理解估算的实际意义，而且只会形成学生的机械记忆与模仿。因为学生在现实生活中几乎很难找到有“大约”二字存在的问题，只有在老师出的练习题和考试卷中才会有“大约”二字。还有，本案例中的第三种情况，学生先精确计算312÷3=104，再把104估成100，写作104 100，说明学生根本就不懂为什么要估算。再有，数学问题解决的终极目标是对精确的追求，而不只是满足于“大约”。所以，我们要改变这种为了估算而估算的教学状态，不仅要让学生真正理解估算的内涵，更重要的是，要帮助学生建立判断与选择的意识，形成灵活敏捷的思维习惯。

一般来说，在估算的教学中要注意以下几点：首先，要让学生理解估算的现实意义。也就是说，要让学生明白什么情况下需要进行估算。一般来说下面的两种情况需要用到估算：一种情况是问题比较复杂，运用我们所学的知识还不足以很快地得到问题的确切结果，就可以通过估算的方法，获得接近问题确切结果的一个近似答案。例如小学数学计算教学中的大数目运算问题，在没有学习笔算以前，学生很难一下子就计算出结果，这时就可以引导学生估算出问题的大概结果。从这个意义上说，如果估算的学习安排在笔算之后，就很难激发学生学习估算的内在需求。而把估算学习安排在笔算学习之前，既可以让学生理解估算的意义，使学生产生学习估算的内在需要；又可以帮助学生建立对问题结果的可能范围的基本敏感，使学生形成从整体上把握问题解决方向的判断意识；还可以引导学生用笔算的方法对之前判断的结果进行验证。另一种情况是在现实的生活情境里，有时不需要知道问题的确切结果，只要知道一个大概的范围。例如超市购物的问题。

其次，要让学生理解估算的方法意义。由于估算的结果不是惟一的，所以估算方法的运用有两个目的指向：一是计算要简便，很快就可以计算出大概结果；二是估算的结果要尽可能接近实际结果。教师需要引导学生在比较中感悟和体验，在比较中理解估算方法的深刻内涵。例如，73÷3≈？如果把73看作90，那么73÷3≈30；如果把73看作60，那么73÷3≈20；通过比较可以知道，把73看作90，73与90相差17，而把73看作60，73与60相差13，所以相比之下，73÷3≈20比73÷3≈30更接近实际结果。在估算时，通常情况下一般教师都会引导学生把数看作整十数或整百数进行计算，这样教学容易使学生就事论事，思维变得机械教条，很难形成学生灵活敏捷的思维品质。因此，教学要体现出递进设计的意识。在估算教学的起步阶段，可引导学生把数看作整十数或整百数，一旦学生掌握了这个基本方法，我们就可以提高教学的要求，以怎样估算更接近实际结果为前提要求，引导学生进行灵活的估算，努力渗透和体现无限逼近的数学思想。仍以73÷3≈？为例，除了把73看作整十数的情况以外，还可以把73看作66，这时73÷3≈22；如果把73看作72，那么73÷3≈24；等等。通过比较可以知道73÷3≈24更接近实际结果。

第三，要让学生了解具体情境中的估算要求。即根据具体的情境要求，让学生了解什么情况下要估大；什么情况下要估小；什么情况下不能估算，一定要计算出实际结果。

上述关于估算教学的要求自然不可能在一节课中都得到体现，我们可以分阶段在加减乘除的估算教学中，以递进设计的方式分别加以体现。事实上，估算教学的目的最终是要形成学生灵活判断的意识，而这种意识的形成显然不是一节课所能为的，需要教师在日常的教学中以渗透的方式努力地有所作为。为此，我们提出了融口算、笔算、估算为一体的教学主张[2]，把学生灵活判断与估算意识的培养渗透在每一节课的教学之中。例如，本案例中学生计算错误312÷3=14(第四种情况)的出现，恰好提供了一个融三种算法为一体的“活情境”。教师可引导学生对312÷3结果的可能范围进行估计，说明14不在这个范围之内。这样，既可以判断出312÷3=14是错误的，又可以让学生感受到估算在具体情境中的意义与作用。学生只有在“活情境”中体会到估算的好处，才有可能理解它的现实意义。唯有这样，学生才有可能把所学的书本知识，在变换了情境的现实生活中灵活自觉地加以运用。

从上述几种教学状态中可以看到，如果问题的设计封闭，教学的过程是难以开放的。换句话说，问题设计的开放是教学过程开放的前提。然而，问题设计的开放并不意味着教学过程会自然地开放，只有在开放的问题设计的前提下，既有教学重心的下移，使问题的解决面向每一个学生；又有对学生基础性资源的关注与捕捉，使生生、师生拥有可以形成相互作用的互动性资源。惟有如此，教学的过程才有开放的可能，生生、师生才有可能通过互动达到生成的状态。

(待续)

[1] 请参见吴亚萍：《论小学数学教学的互动生成(一)——对教学过程“互动生成”的内涵理解》，《小学数学教师》，2005年第10期。

[2] 吴亚萍：《“新基础教育”数学教学改革研究报告》，收录于叶澜主编：《“新基础教育”发展性研究报告集》，中国轻工业出版社，2004年5月版，第128页。