“图形的认识”课型

数学课程标准把各个学段的数学学习内容分为“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”和“实践与综合应用”四个领域。其中，“空间与图形”的内容主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具。就小学阶段而言，主要包括图形的认识、图形的测量、图形与变换、图形与位置这四方面的学习内容。这里主要就“图形的认识”这一部分教学内容的课型设计作具体分析。

我们先来整理一下小学各学段属于“图形的认识”这一部分的教学内容：

从以上内容结构表中，我们看到，“图形的认识”中的大部分内容与概念教学有关，或者可以说属于“概念教学”的范畴，但也有较少部分的内容属于定理探究课或实验课，如知道三角形两边之和大于第三条边、体会两点之间线段最短等。我们在这里的课型探究则主要以前者为主。

一、课型的主要特征

图形的认识是对一些基本图形的认识，这部分的内容无疑是空间与图形领域中的重要内容。标准注重使学生在现实世界中积累的有关图形的经验的基础上，认识常见的立体图形和平面图形，并在丰富的现实背景中，通过观察、操作、比较、概括等体验常见图形的性质，并运用它们解决实际问题。从这一角度来看，这种类型的课与概念教学类似，“图形”就是学生要认识的概念。所以我们不妨可以从概念教学的角度来思考这一类型课的主要特征。当然，“图形”这一概念又不同于计算概念、数概念等，由于“图形”本身具有直观性，“图形的认识”教学在概念教学的共性之下又具备了自身独特的特征。具体分析，“图形的认识”课型主要有以下特征：

1．概念教学范畴是其定性。

数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映。从这一意义上来说，图形的认识正是空间形式的本质属性在人脑中的反映，属于概念教学范畴，具体说是“形概念”教学。在教学中，教师需要引导学生对各平面图形或立体图形的概念给予准确地描述，结合学生年龄特点和心理特点，通过大量的正、反实例，变式等，反复比较、鉴别、归纳，体会其概念的内涵和外延，从本质上认识各图形的特征。如：三角形的认识，就要从生活经验的逐步抽象后，通过标准与变式逐步理解其数学概念的本质特性。通过抽象与数学化的过程，感知三角形是由三条线段首尾相连构成的封闭的平面图形。

2．图形特征认识是其关键。

数概念是通过大量数据的列举掌握一类数的特征，计算概念是在具体计算中掌握同类计算的方法，那“形概念”教学究竟引导学生认识什么呢？很显然是图形的特征。这就是这类课型的教学重点和难点。这里的特征包括外部特征和内部特征。外部特征指课通过大量事实的列举与观察而得到的有关于图形的外在的浅显的特征，如“四边形有四条边和四个角”，这一特征大都通过直接观察而得，是给出图形名称的前提。内部特征则是建立在外部特征的基础上，通过实验操作等体会其内在的深层次的特征，如“圆柱的侧面展开图是长方形”，这类特征大都不能通过肉眼直接观察，需要动手实践而得，或猜测后通过实验进行验证。

3．数学实践活动是其途径。

如果在概念教学中，仅仅出示概念的定义进行机械识记，那么这样的教学是不具有活力的，也是偏离教学目标的。概念教学一定要建立在学生理解的基础上。对于小学生来说，“图形的认识”因其本身具有直观性，其教学更要建立在直观体验的基础上。学生空间观念的发展、活动经验的积累、图形性质的体验等都是在数学实践活动中进行。需要教师设计大量观察、操作、思考、想象、交流等活动，使学生在有挑战性的、充满想象和富含思考的过程中，体验图形的性质。学生可以通过折叠、剪拼、画图、测量、建造模型、分类等活动，对图形的多方面性质（如度量性质、组合性质、稳定性质）获得亲身体验。如“圆有无数条直径，且长度都相等”这一结论如果直接告诉学生，显然他们是没有感性认识的，也就不能上升到理性理解，也就不能内化到自己的认知结构。相反，如果让学生自己通过操作得到结论或通过实践验证结论，这样的教学过程就会因为学生的亲身体验而变得灵活生动，图形的性质也因来源于学生自我的发现而真正融入学生的认知体系。

4．空间观念发展是其价值。

“形概念”教学与“计算概念”、“数概念”等的教学不同，它属于空间领域，其目标价值指向不仅是夯实基础知识，形成基本技能，同时在形成概念、理解特征、运用性质的过程中培养发展学生的空间观念。相对于图形性质知识的习得来说，空间观念的培养更为重要。空间观念表现在能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。小学生空间观念的形成要经历要经历一个持久、从具体到抽象的、由低层次活动进入较高层次的发展过程。这就需要教师站在更高的价值视野上进行教学设计与实施。

二、课型的实施流程

 “图形的认识”这类课大多属于“形概念”的教学，所以在具体实施过程中，具有类似的教学环节和相似的教学流程。在处理这类课型时，我们可以用上述教学流程来实施教学，促进教学目标的达成。

1．基于事实材料，经历适度抽象。

在处理“图形的认识“这一部分教学内容时，由于图形的概念特征是抽象后的结果，如果让学生去记忆这个结果，相当困难。所以一开始不直接出现概念特征，而是从生活中的大量事实出发，唤醒学生的生活体验，让学生对各图形的内涵有初步感受，然后再抽取出其共同特征。如一年级学生在认识平面图形时，如果教师直接告诉学生什么是长方形、正方形、三角形、圆后，就直接让学生进行巩固练习，显然学生是不可能理解的，课堂教学目标也不可能实现。一来不建立在直观基础上的特征描述苍白无力，二来这样的教学过程丝毫不能激发学生的学习兴趣。相反，给予学生各种各样的平面图形后，让学生观察分类，在此基础上再进行抽象，学生有了感性经验的铺垫，数学抽象也就水到渠成了。在这里有几点说明：首先事实材料一定要是“大量”的，因为数量太少图形的共性特征就难以抽取，同时丰富的事实材料也能不断激发学生对特征的体验，另外从大量的事实材料得出结论也体现了数学学习的严谨和科学；其次“分类比较”是关键，一开始学生虽然有所体会，但很难用语言表述各类事实材料之间的不同，而分类则给了学生一个抓手，分类后进行观察比较更容易发现不同图形之间的区别和联系。根据教学需要，我们可以进行一级分类、二级分类，乃至三级分类等。

2．观察比较分析，提炼图形特征。

当学生感受到图形的外部特征后，教师就可以组织学生对概念进行“下定义”了。这里的下定义不是指用语言直接给出概念，而是揭示“像这类图形，就是长方形/正方形……”，同时继续追问“怎样的图形是长方形/正方形……呢”？学生则可以用自己的语言，结合刚才观察到的图形外部特征进行描述，一来准确地揭示了概念的内涵，二来锻炼了语言表达能力。我们的概念从生活中来，还要回到生活中去，体现数学与生活是密切联系的，接下来则可以引导学生举例理解，“生活中你还在哪里见过这样的图形呢？”学生就要在理解的基础上或到生活中去寻找，或进行回忆，这个过程不仅可以检验学生是否真正掌握了图形的特征，同时也能进一步帮助学生理解概念的外延，在比较中内化其特征。

以上只是达成了教学的第一块目标，主要认识图形的外部特征，接下来则要步入教学实质，认识图形的内在特征。这一部分的教学以活动体验为主，如在“圆的认识”中，我们接下来可以通过“画圆”感悟圆的位置关系与大小，明确半径、圆心的作用，通过“折圆”理解直径，体会直径、半径的关系与特点……而这些不是仅仅通过观察就能得到的，一定要在活动中才能有所体悟，有所理解。这里要指出，活动的设计一定要与教学目标紧密联系，可以在同一个活动中体现不同的教学目标，也可以根据不同的教学目标设计不同的活动，但活动与活动之间一定要有关联，有层次，而且要注重活动面向全体，让每一个学生都能参与到活动中，而不进行替代学习。

3．运用变式理论，提升学生认知。

最后，可以通过“巩固练习”的设计来促进教学目标的达成，同时也可以作为检验手段。练习的内容可以是与图形特征有直接联系的“快速反应”，如判断某个图形是长方形、正方形还是圆；也可以是有一定思维挑战性的数学活动；还可以是与后续学习内容有关的铺垫性学习，如认识了等腰三角形后，可以让学生从边的特点这一角度继续探索其他类型的三角形。至此，应该说，学生关于图形已经有了系统的认识，大部分学生已经掌握了图形的特征，清楚了内涵和外延，在分类比较、实践操作中达成了教学目标。在最后环节，师生的小结很重要，在学生大量的感性体验、理性思考的基础上，通过简明扼要的语言阐述所学图形的特征，帮助所有学生再次完善认知结构。

以上是“图形的认识“课型的一般教学流程，针对不同的学生和不同的教学内容，我们可以在此基础上进行微调。毕竟。教学有法教无定法。

三、课型的实施要点

基于“图形的认识”的主要教学流程，在具体实施过程中，还需注意一些实施要点，如：活动要面向全体，教学要多次沟通……做到了这些，从细节上把握住这类课的教学本质，才能更为高效地实现教学目标。

1．教学概念“重在理解”。

数学概念教学不同于语文概念教学，在检测教学目标是否达成时，语文往往会让学生进行概念填空，而数学这方面的内容少之又少，重在看学生是否理解了，然后在应用过程中检测。所以在教学图形的认识时，我们强调要让学生清楚图形的特征，但不需死记硬背；强调学生要能用自己的语言叙述，但不能千篇一律。如我们知道“平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。”但是在教学中我们能让学生背诵这个概念吗？答案显然是否定的，关键是要帮助学生理解。学生能找到圆心，通过探究性活动知道“圆心决定圆的位置”，“半径决定圆的大小”，另外能通过折纸找到直径，清楚直径和半径的关系。这时的学生虽然不能清楚地叙述其概念，但他们已经从本质上认识了圆，清楚了圆的各个特征。但在这里要说明，作为教师而言，对图形的概念及特征必须有非常清楚的认识，只有建立在这一基础上，才能化难为易，做到深入浅出，帮助学生较快地理解和掌握。

2．活动组织“面向全体”。

“空间与图形”这部分内容不同于计算教学，课前材料准备比较复杂，课中活动设计也比较难以把握，所以在实际教学中，很多教师往往流于形式，不愿意准备过多的活动材料，或者在实际活动过程中为了操作简便而仅关注个别学生。但如果要求学生真正掌握这部分内容，活动体验必不可少，这就要求教师在设计、组织活动时要做到“面向全体”，给每一个学生提供参与活动的机会，这样每一个学生都能积累活动体验，就能最大效度地发挥出活动的价值，促进教学目标的有效达成。

3．教学交流“多次沟通”。

从一节课来说，要注意横向的多次沟通和纵向的多次沟通。比如在教学长方体、正方体和圆柱的展开图时，学生通过实际操作得到三者的侧面展开图都是长方形，这时教师就可以进行第一次沟通“为什么都是长方形呢？”然后放下去让学生继续探究，有了答案后再次沟通，“同样都是长方形，那有什么区别呢？”在引导学生探究的过程中继续追问“长方形的长和宽分别是原来图形的什么呢？”逐层深入，逐渐发掘问题的本质。对于同一个图形，则可以进行纵向沟通，同样是长方体，但有的高高瘦瘦，有的扁扁胖胖，有的底和高相等，有的底面周长和高相等……然后引导学生探究，继续深入实质。从几节课来讲，也可以进行链接沟通。如一年级先认识立体图形，再认识平面图形，通过“描一描”从“体”引出“面”，沟通了立体图形到平面图形之间的转化。总之，在教学中，只有一层更上一层地多次沟通，才能促进教学目标更好更快地达成。

4．设计体现“分类意识”。

“分类”是“图形的认识”课型的魂。小学阶段要接触各种图形，从大范围来讲，有平面图形和立体图形，其中平面图形又可以从边的曲直、边的多少、角的特点等角度继续细分，立体图形也可以从面的大小、面的多少、棱的特点等角度继续细分。那面对这么多图形，学生怎么能区分其不同特点，并一一认识呢？这就需要从初始阶段，也就是一年级教学时就要渗透“分类意识”，在分类中帮助学生把握不同类图形的共同点和不同点。学生会分类了，说明学生已经掌握了不同类的图形特征；反过来说，只有学生掌握了不同类图形的特征，学生才能正确分类。通过一级分类、二级分类等逐渐细化，分类后再比较，只有这样，概念才能真正准确地形成。

5．过程渗透“科研方法”。

我们知道，数学学习不能仅仅建立在解题的基础上，学生能否借助数学学习掌握科学研究方法，数学素养能否提高才是其关键。前面我们谈过，“图形的认识”这类课建立在活动体验的基础上，而恰恰通过活动能有效渗透科学研究方法。如学生在认识长方形时，一开始通过初步观察感受到长方形的对边相等，四个角都是直角。那事实是否是这样呢？教师就可以告诉学生这只是猜测，然后引导学生通过折一折、量一量的方法进行验证，最后得出正确的结论。这一环节中渗透了“猜想-验证-结论”这样一个科学探究方法。再如认识圆时，学生知道了圆心和半径，教师就可以带领学生深入研究，“圆心和半径有什么用呢”，这里体现了“刨根问底”的科学研究精神，也让学生明白，学习不能仅仅满足于表象，要有继续研究的精神，深入现象本质，揭示事物真谛。

6．巩固练习“灵活变式”。

在这一课型中，练习设计非常重要。可以巧用变式，一来通过变化沟通图形之间的关系，二来在变化中感受概念的内涵和外延，掌握图形的特征；可以设计探究性练习，如认识了等腰三角形和等边三角形后，可以引导学生从“角”的角度继续研究三角形的分类；可以引导学生感受生活中的图形，如认识了圆之后，可以让学生到生活中寻找圆，指出圆的各部分特征，在掌握知识的同时感受数学美；可以设计分层作业，给不同学生以不同的挑战，体现底限要求和高标要求。另外，练习也不一定置于整节课的最后环节，可以融练习与新授，学完一个知识点后就有针对性地练习，帮助学生强化巩固，起到事半功倍的效果。但是在多个练习同时呈现时，一定要注意不同练习之间的针对性和层次性，最大限度地发挥练习的功能。

7．概念掌握“语言外显”。

在数学教学中，学生数学表达能力的训练很重要，所以在实际教学中，教师可以利用一切机会让学生多听多说多讨论，训练学生的数学语言表达能力。能简明、扼要地抓住事物本质，概括出某一类事物的共同特质，是数学语言训练中最重要的一部分内容。所以，能否说出某一概念的内涵和外延，也就检查学生数学语言能力的一项指标。虽然我们在图形的认识教学中，不要求学生能科学地、严谨地说出每个图形的所有特征，但是训练学生的语言表达能力仍是这一课型的亮点。如在认识长方形、正方形时，学生能用自己的语言描述其特征；在认识直线、线段和射线时，学生能用自己的语言讲清楚他们的区别；在认识三角形时，学生能用自己的语言对其进行分类。在图形的认识这一课型中，学生语言的描述一方面可以作为检验学生是否掌握概念的工具，另外一方面也是发展学生数学表达能力的途径。

四、典型案例与分析

圆的认识

教学内容：苏教版《义务教育课程标准实验教科书(数学)》五年级(下册)第93~95页。

教学目标：

1．在大量感性材料与现实情境的分析中感悟、认识圆的本质特征，理解圆心和半径的作用。

2．掌握圆各部分名称，会用字母表示圆心、半径。

3．能比较熟练地用圆规画圆。

4．经历和体验“材料感知—聚类分析—归纳特征—抽象命名”的概念建构的过程，逐步提升学生比较、概括和抽象及数学语言的表达能力。

教学过程：

一、感悟圆的外部特征

 1．谈话：我们一起来看一些美丽的图片。出示多媒体。

提问：从这些自然现象、建筑、工艺品中，你看到了什么平面图形？说一说它与其它平面图形比如长方形、正方形有哪些不一样？

提炼：圆是由曲线围成的平面图形。而长方形、正方形等都是由线段围成的平面图形。

 2．今天，我们一起研究平面上的曲线图形——圆。（板书）

二、感悟原理，提炼圆的基本特征

 1．感知不同情境中的画圆

    情境一：拿出系绳的小球，老师用它也可以创作一个圆。你能想到我是怎么做的吗？教师甩动系绳的小球，在空中画圆。

情境二：如果在操场上画圆，可以怎么画？

媒体第二次呈现，要求：边看边在心里说一说体育老师是怎么画圆的。

    情境三：大家能不能用圆规画一个圆呢？

    要求：边画边想，怎样画又快又好？要注意些什么？

老师在过程中加强一些指导，参与到画圆过程中。

    组织交流，在过程中如果有需要教师可以进行必要的示范。

情境四：观察老师如何在黑板上是怎样画圆的，过程是怎样的？

组织学生在交流后再练一次。

 2．发现共同的特点，提炼圆的特征

    提问：空中画圆，操场上画圆，黑板上画圆，纸上画圆。材料不同，方式不同，有没有什么相同的地方？

组织学生交流想法。

3．命名并思考不同情境中的关键要素

   （1）提炼：虽然画圆的情境不同，但都要先固定一个点，展开一定的距离，然后旋转一周。（板书）

（2）介绍：我们把固定的点叫做圆心。通常用字母O表示。确定的这段距离，叫“半径”。用字母r表示。

教师示范：在圆中画一条半径。

（3）提问：回顾刚才画圆的四个情境，你能找到它们的圆心和半径吗？

组织交流，提问：每一个情境中的圆，它的圆心在哪里？半径在哪里？

小结：通过4个情境的分析，我们了解了圆的基本构造，看来圆规就是根据圆的特点来设计的。

三、画圆过程中感悟圆的位置关系与大小，明确半径、圆心的作用

1．那么圆心与半径对圆来说有什么作用呢？

    教师呈现基础性资源。

   （1）同心圆

   （2）分离的两个圆

   （3）相交的两个圆

2．分步呈现学生的圆。

（1）为什么同一个圆心却可以画出不同的两个圆？

   （2）这里的几组圆大小是一样的，是什么原因使得两个圆有这些不同的位置关系？关键在哪里呢？

    提炼：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。（板书）

3．画一个半径为2厘米的圆，并简单交流一下。教师抓住细节。

（1）简单介绍定半径的方法      （2）标出圆心与半径

 小结：原来圆心和半径对圆来说是这么重要的部分啊！

四、在折圆中理解直径，体会直径、半径的关系与特点

1．第一层次：找出圆形纸片的圆心

谈话：大家手里有一个圆纸片，你能想办法找到它的圆心，并标出半径吗？

    教师参与学生活动过程。

（1）一对折一重合，折痕相交的点就是圆心，你能在这里找到半径吗？

（2）二条半径在一条直线上，就形成了一条折痕，从整体看这条折痕在圆中叫什么？（直径）在圆纸片上画出直径。

    教师在黑板上的圆中画出一条直径。

（3）你能用数学语言准确地说一说怎样的线段是直径吗？介绍，直径一般用字母d表示。（标注）

2．第二层次：在小组活动中发现直径、半径的特点与关系

（1）提问：半径与直径是圆中两条特殊的线段，它们都有哪些特点？又有怎样的关系呢？请同学们利用圆纸片画一画、量一量、想一想。四人小组交流一下你们的发现，如果有需要也可以与老师对话。

    教师在过程中可以打开思路：

有的同学关注了直径和半径的长短关系，有的还在研究条数。

 3．全班交流中提炼：原来半径和直径都有无数条，在同一圆中直径是半径的2倍。

五、巩固练习、拓展延伸

 1．快速反应：判断圆中哪条是直径，哪条是半径。（学生可以用手势表示）

2．在作业纸上的正方形中找到圆心，画一个最大的圆。

   出示资源，交流找圆心的方法。

3．欣赏：

   （1）平面图形绕顶点旋转形成圆

   （2）学生作品

4．教师小结：今天我们认识了圆，理解了圆的特征特征，我们还可以研究圆的……。

【评析】

在第一版块“感悟圆的外部特征”中，呈现生活中的图片，从中找平面图形，其实就是给学生提供生活中的大量事实，给学生以丰富的感性体验，在感受美的同时对圆的基本特征有初步的认识。“与长方形和正方形有什么不一样”这个问题其实是“分类”意识的另一种体现，在这里，如果给学生长方形、正方形和圆，让学生分类，那太简单了，纯属无意义教学，所以教师引出了建立在分类基础上的这一个问题，引导学生思考，观察得出圆的一个最基本的外部特征“曲线图形”，这也正是圆的上位概念，是圆所属的上一“类”。看似简单的一个问题，巧妙地隐含了类意识。

在第二版块“提炼圆的基本特征”中，情境一和情境二其实是给学生展示生活中的圆：小球随手一甩可以创作出一个圆，体育老师在操场上快速画圆。那这些圆与什么共同特点呢？并没有急于让学生回答这个问题，而是引出了数学常用工具圆规，让学生在思考的过程上进行尝试，对比分析，感悟不同情境的共同点。这里已经开始带领学生不知不觉地逐渐体悟圆的内在特征了。

在这里，我们可以看到，每个学生都用圆规尝试画圆，注重了活动的面向全体，同时在教学中，教师注重沟通，“这几个情境之间有什么相同点呢？”这一问题引导学生把不同的情境联系起来思考其共同点，给学生指明了思维路径和方向。

随后教师就让学生寻找刚才四个情境中的圆心和半径，这其实就是融练习于新授的体现，加强巩固，尽快达成目标。

另外，我们看到每一环节都会组织学生不断交流，包括下面的教学也是如此，这里教师把说话的机会还给了学生，而没有直接告知学生答案，学生拥有了话语权，也就拥有了训练数学表达能力的机会。

在第三版块“探究圆的内在特征”中，通过“画圆”和“折圆”这两个活动激发学生的探究欲望，逐渐掌握深层次的数学知识。学生操作的基础上认知了圆心和半径的概念，帮助学生深刻理解。但是教师并未满足于此，能找到圆心和半径只是认识圆中最浅显的一个环节，关键这个圆心和半径有什么用呢？教师继续组织活动，在活动中引导学生自我探究，体悟圆的内在特征：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。这次沟通建立在上次沟通之上，同时要求全体学生都经历活动过程，更深入学习的本质，巩固了概念的外延。

另外，同心圆、分离的圆、相交圆、大小不等的圆……这些不同位置圆的出现，给学生以强烈的视觉冲击，一方面激发了学生继续探究的渴望，另一方面给学生以美的体验。

“折圆”的活动与“画圆”的活动性质类似，直径、半径和圆心一样，都是圆上的一些名称，仅仅记忆非常简单。于是设计两个活动深入分析，挖掘实质。“画圆”揭示了圆心和半径的用处，“折圆”探究直径和半径的关系。通过这样两个深入的活动，学生对于“圆”才可以说真正知其然也知其所以然，外部特征和内部特征一目了然，非常完美地实现了教学目标。

另外这两个活动也体现了科学研究的方法，遇到问题，不能光满足于表面现象，我们要深入分析，挖掘其实质。如何进行分析呢？可以动手实践，画一画、折一折、比一比，动手往往是最好的解决问题的方法。学生长此经过这样潜移默化地训练，逐渐地掌握了科学研究方法，数学素养得到了显著提高。

在第四版块“深化圆的本质认识”中，练习设计很有层次，快速反应主要检测学生是否认识了圆的外部特征，这是整节课教学的底线要求，人人都必须掌握。在正方形中画最大的圆是一项操作性练习，首先从其设计上就吸引了学生的注意力，避免了作业的枯燥乏味，给学生以挑战和乐趣；其次，看似画圆这样一个简单的作业，其实质是通过这样的练习学生不仅能找到圆心，而且能感受最大圆与正方形的关系，使学生的思维更上一层次。最后的欣赏主要的目的是帮助学生感受美、鉴赏美，另外学生作品也可以引起学生的共鸣。最后的教师小结起到承上启下的作用，“我们还可以研究圆的………”给了学生新的研究方向，至于研究方法，前面整个教学环节有所体现。

（常州市局前街小学  王小霞  顾雄 ）