图形的测量

“空间与图形”领域分四条线索展开：一是图形的认识，二是图形的测量，三是图形与变换，四是图形与位置。其中，图形的测量主要包括长度、面积、体积的度量概念生成和图形周长、面积、体积的计算公式推导两大部分。教材的相关内容覆盖三到十二册，一方面是引导学生在观察、操作中经历测量的过程，体会建立统一度量单位的需求，建立度量概念，并能恰当地转换和选择；一方面是在探索和掌握基本图形周长、面积、体积的基本计算公式的基础上，运用转化的思想方法推导其他图形的计算方法。它是度量概念和计算从一维到二维再到三维的发展过程，是学生三维空间观念逐步建构和完善的过程，培养学生的几何直觉、推理能力以及认识生存的现实空间，“图形的测量”具有其独特的数学价值与应用价值。

因此，图形的测量课型可以分为两大类，一是度量概念的生成课型，一是计算公式的推导课型，我们这里的课型主要以后者的“转化探究课型”为主。而转化探究课型的展开主要以“平面图形的面积计算”为例进行具体阐述。

一、课型的主要特征

尽管图形周长计算、面积计算和物体体积计算有各自的一般方法和特殊方法，但其解决问题的思路具有一致性，教学中都是从规则图形入手，使学生掌握规则图形测量计算的一般方法，再进行不规则图形的测量计算，即把不规则图形转化为规则图形，从而运用规则图形测量计算的一般方法解决不规则图形的计算问题，最后进行图形测量问题的估测与估算。因此，在教学中应注意先渗透最上位的思想和策略，再引导学生理解和把握图形计算问题解决中一般方法和特殊方法的原理，最后才是根据原理的具体算法的掌握。

进一步分析“平面图形面积计算”这一部分知识，不难发现长、正方形的面积计算是一般方法，平行四边形面积计算过程是学生第一次接触转化的思想方法，学会通过一定的途径将未知转化为已知；到三角形面积的计算就可以直接运用这一思路和方法，承上启下，适当拓展；到梯形面积的计算，学生独立运用学过的方法解决新的问题。这一过程既是学生习得知识与方法，同时转化为自身素养的过程，更是数学思想体验和感悟的过程，学生通过自主探索和逐步抽象归纳，对于平面图形面积的结构有了一定的认识，对图形之间的内在联系和相互间的转化有更深刻的体会。

根据以上对教材学习内容和学生学习可能的分析，“平面图形的面积计算”具有如下主要特征：

1．以整体的方式建构学习模型。教学就是“让新知之舟泊在旧知的锚桩上”，为新知的学习提供最佳关系和固定点。图形面积计算从纵向来看，是以转化的形式把不规则图形的面积计算这一新知顺应于原有的认知结构即已知一般规则图形的面积计算之中；从横向来看，又可以以类比的形式把一个个点状的新知同化建构成一个完整的认知结构。在起始课中，我们就可以有意识地引导学生归纳梳理学习的过程，建立清晰的探索学习的方法结构，到了后续的学习中，从半扶半放到逐步放手，指导学生调用学习经验，自主展开探索过程，“猜想——转化——推导——应用”的过程也就逐步成为学生内化并能自觉调用的学习经验，真正转化为学生的学习能力。

2．以转化的策略强化直观猜想。学生生活在万千信息的社会里，生活中无处不见的数学现象无时不刻地进入他们的认知领域，成为他们的数学活动经验，并作为学习者原有的一部分构成进一步学习新知的“现实数学”。当拿到一个新图形、面对一个新问题时，学生会根据各自不同的生活经验和数学理解，进行自己的尝试，有的学生会试图画格子，数面积单位的个数；有的学生会折，即使是无意识的折也会发现能转化成其他图形；有的学生会剪、拼，成为熟悉的长方形。这一过程，学生不仅自己可以动手操作，还可以看到身边同学的操作，相互启发，体验转化的过程，看到转化的结果，体悟新旧转化的数学策略无处不在。

3．以方法的体悟增强数学感觉。当学生通过直观猜想和偶然尝试，发现转化的方法后，思维的兴奋点会始终停留在具体拼折的方法上，思维是点状的，对“为什么有些方法能转化成功”，“在这些活动中如何使图形之间的联系更加清晰？”等问题没有进行有效的追问。再到下个内容的学习时，学生的水平依然停留在自己摸索到的几种偶然成功的方法上，而没有体悟到转化成功的必然性，体悟到转化背后的数学思想。说到底，教师对学生动手操作和实验探究的目的和意义缺乏深层次的思考，对平面图形之间的内在关系缺乏结构分析。如何将方法通过点拨、提炼得以清晰推广呢？教学过程中教师可以把有意识的追问和启发后的再次操作体悟紧密结合，帮助学生发现和总结：都是通过特殊的线——“高”和点——“中点”才能转化成功。这个过程的思考和演绎，是师生、生生思维的相互激发，是学生思维由直观描述走向抽象关联，并最终建立数学感觉的必经之路。

4．以互动的推导发展逻辑思维。众所周知，直觉思维与逻辑思维是数学思维的两种互补形式，直觉思维的培养应与逻辑思维培养结合起来进行。在经历一系列操作探究后，有必要使学生的思维走向抽象概括，因为不同的转化办法，最后都可以归纳成同一个公式。学生的能力有差异，有的学生比较敏感，知识基础较扎实，逻辑思维发展相对较快，对公式的记忆也相对比较清晰，但还会有部分学生只能看到一个结果，不容易理解公式的意义。因此，虽然教材不要求学生亲自推导生成公式，但我们对公式的处理也不能简单化，可以通过师生、生生互动的方式，请学生找一找、比一比、写一写、记一记，致力于从理解到符号化的过程，从而为后续的几何学习乃至数学逻辑思维能力的发展进行积极的渗透。

二、课型实施流程

作为以“转化探究”为主的课型，必然与直观猜想、实验操作、概括结论等基本要素相关，通过实践，我们确立了如下的课程实施流程：

环节一：提供素材，引发猜想

教材为学生的学习提供了操作的物质条件和方法指导，教材后附有许多平行四边形和三角形、梯形，为学生开展操作活动提供需要的图形。教材在以下三个方面对操作活动给予支持： 一是告诉学生到哪里去选取操作的材料。二是指导学生怎样操作。在三道例题中分别有把平行四边形“转化成长方形”“看看与（例题中）哪一个三角形可以拼成平行四边形，拼一拼”“看看哪两个梯形能拼成平行四边形，拼一拼”。三是指出通过操作应初步知道些什么。如通过长方形的面积“求出平行四边形的面积”；先“求出平行四边形的面积”，再“求出每个三角形的面积”；先“求出平行四边形的面积”，再“求出每个梯形的面积”。教材希望这些方法指导可以使操作活动有序、有效地进行，为进一步的数学思考积累感性材料。

我们在实践中还会进一步打开思路，在学生拼、折的过程中，提供的材料应该比较丰富，使探究具有普遍意义。一方面是数量上，鼓励学生用不同的思路大胆尝试，不怕失败。一方面是内涵上，为学生提供各种不同的图形，如研究三角形的面积时，就提供了钝角三角形、直角三角形、锐角三角形和等边三角形，等腰三角形、一般三角形，便于学生全面、科学地验证，培养学生严谨的学习态度。

在教学中，教师要引导学生寻找和发现事物的内在联系，发现其中的隐蔽关系，对各种信息综合考察，作出直觉的想象和判断。于是，我们这样设计问题的提出：想一想，我们已经会求哪些图形的面积了？这些图形和研究的新图形之间会有怎样的联系呢？启发学生产生强烈的研究需求，并展开大胆猜想：平行四边形可以转化成长方形吗？三角形可以转化成长方形还是平行四边形呢？开放式的问题和大量的动手操作材料，以类比的方式启发直觉，以直观的背景材料激发学生的直觉思维，激发了学生研究的热情。

环节二：操作验证，感悟方法

把不规则图形转化成规则图形的思想，教材在本课之前就有过比较多的渗透和孕伏，对学生的暗示性较强。如在教学平行四边形面积时，两道例题帮助学生确立研究思路，例１通过“每组的两个图形面积相等吗”唤醒把图形等积变换的思想方法——一个复杂的图形可以转化成面积相等的、比较规则的图形，这是研究平行四边形面积计算的策略。例２把一个平行四边形转化成长方形，为学生明确了探索活动的思路和方法。而平行四边形和三角形、梯形的转化方法之间又略有不同，前者是剪切平移，后者是旋转拼合，学生学习比较被动。

研究新的数学问题，需要明确的方向和清晰的思路，即进入“定向指导”阶段。我们从平行四边形面积计算开始重新构建教学目标和教学重点，在学生的转化过程中除了提问：它们都是沿着什么剪的？还可以不断追问：必须沿着高剪吗？只有这一条高吗？不沿着高也能转化成功吗？是不是所有的平行四边形都能转化成长方形？还可以通过教师示范或把“你知道吗”适当改变，改成从平行四边形两边的中点转化把这一方法提前呈现，帮助学生从偶然的转化成功中理解转化背后的道理。学生有了把未学过的图形转化成已学过图形的意识，初步感悟到不仅可以利用图形的高，还可以利用图形中点转化成以前学过的图形。到三角形的面积计算，学生因为有了上节课平行四边形面积计算的铺垫，对于平面图形转化方式的认识有了一定的基础，就可以放手让学生先自己类比着创造。开发和利用学生的模仿能力，让他们自己利用图形的剪拼甚至是上节课老师用的转化过程方式来寻找三角形面积计算的方法。

环节三：沟通关系，总结公式

教材在每道例题中都设计了一张表格，表格的内容都是两部分：一部分是转化后的图形的有关数据，如转化成的长方形的长、宽与面积，拼成的平行四边形的底、高与面积；另一部分是转化前的图形的有关数据，即原来平行四边形的底、高与面积，原来一个三角形（梯形）的底、高与面积。把这两部分内容设计在同一张表格里，能引导学生从数量的角度，体会图形转化前后在长度与面积上的对应联系。这张表格要安排学生独立填写，依据“形状变了，面积不变”这一原理，引导学生发现根据转化后的已知图形面积计算公式，就可以得到原来图形的面积。

找关系对于学生来说跳一跳能达到的，但是推公式，尤其是转化后内在联系比较隐蔽的，要想清楚它们各部分之间的关系已属不易，还要能够有条理的一点点代换，得出一个推导的公式，要求还是相当高的。教材里没有写出这样的替换过程，而是把它留给学生进行。学生从中不仅认识了新的面积公式，而且在数学思考，特别是开展推理活动方面，将得到一次很好的锻炼。教学中采用由扶到放的方式，具体帮助和指导学生如何将已有的面积公式进行等量替换得出新的面积公式。在平行四边形面积一课，我们放手让学生自己写一写原来的计算公式，老师选择学生中有一些感觉的“半成品”作为交流的资源，用字母表示不同图形中的各部分，用弧线连一连公式中每一部分变成了什么，最后形成完整的新公式，帮助学生完善公式，同时也是帮助孩子完成体悟、提升的过程。

到三角形的面积一课中，计算的推导过程是在迁移前面所学的平行四边形面积公式推导的基础上来探究的，可以再次放下去，观察有多少学生具备了独立推导能力，可以充分利用这部分学生的资源，让他们进行差异共享，相信到了梯形的面积公式推导时，会有更多的学生具有了这样的意识和能力。得到的面积公式，既用文字表达，也用字母表达，都是具有普遍规律和应用价值的数学模型。公式的得出是建模的过程，学生经历了探索公式的全过程，就能更好地理解和掌握这些公式，也为学生今后学习“圆面积”、“体积推导”，甚至于初中的几何知识作了铺垫。

环节四：应用公式，解决问题

几何学习的高级阶段就是学生遇到需要综合应用早先阐明的概念和关系来求解的问题时，能对所作的问题和自己的解法作出反思和说明，即“自由定位”，并能对所学到的所有知识作出总结，将其整合到一个易于描述和应用的网络之中，这样，学生的几何思维就上升到了一个新的更高水平。

因此，教学中一方面要设计有层次的练习。基本练习中一般都有三方面的内容，一是加强对面积公式的理解，突出公式中最关键的部分，二是应用公式求图形的面积，三是解决与面积计算有关的实际问题。综合练习则引导学生走出书本、走出教室、走进生活，寻找并解决与面积知识有关的实际问题。还要有意识地把图形的认识、测量长度的方法和计算面积的公式等多方面知识融为一体，发展学生的数学意识。

另外，一方面要引导学生及时反思、梳理学习过程，今天我们是怎样研究平行四边形的面积的？想一想，用这样的方法还可以研究哪些图形的面积？帮助学生进一步清晰转化这一策略，以及转化的关键，重温方法，并进行大胆猜想，引发学生进一步探求新知的愿望。

三、课型的实施要点

    在课型实施的过程中，教师不仅要根据学生的起点进行针对性的教学，还要根据课堂中的状态需要不断作出动态调整，不仅要关注学生的目标达成状态，还要关注前节课的目标要求是否能够在学生身上自觉地加以体现。因此，课型实施过程中，教师要注意以下方面：

1．重建目标，拓展价值

掌握图形的面积或体积公式，是图形测量内容的重要方面，但教学不能将主要精力放在套用公式进行计算上，以至于将这部分内容简单地处理为计算问题。因为从平行四边形的面积到三角形的面积、梯形的面积在知识运用和思维方法上具有类同关系，可以通过教结构、用结构的方式有序展开。对于规则图形面积和体积公式的探索和应用，不仅有利于学生解决实际问题，而且对于学生认识图形的特征、理解图形间的相互关系、体会基本的数学思想和发展空间观念也是大有好处的。

因此，我们把“图形面积转化”教学的数学价值定位在：在探索图形面积的过程中感受转化的数学思想方法，感受渗透其中的关系分析思维方式，并对图形特征和内在关系建立基本的数学感觉。这一系列课型的总目标和每一课的递进目标设计如下表：

2．明晰关系，层次推进

为了在教学中体现和落实以上数学价值，教师要清晰的把握和推进三个层次的关系，一是知识结构的内在关联，二是探究过程的层次递进，三是知识结构与学生能力发展之间的互动关系。

要对平面图形面积计算问题进行内在的知识结构分析，必须透过各图形表面的不同去寻找他们之间共有的内在本质联系。平行四边形要转化成长方形的前提是要找到直角，从平行四边形的高出发可以找到直角，而平行四边形中有无数条高，所以从平行四边形的任意一条高出发都可以转化成长方形。突破常规思维定势，还从平行四边形的一条斜边上任意一点向两边引垂线也可以找到无数个直角，从任意一个直角出发平移直角就可以转化成长方形，如果这一点正好是斜边上的中点，那么还可以通过翻转直角得到长方形。三角形要转化成长方形的的前提也是要找到直角或斜边上的中点，而三角形要转化成平行四边形的前提是要找到平行线，所以可以通过两个三角形拼合或一个三角形沿不同边上的中位线切割翻转得到。同理，从梯形斜边上的中点，或既从高又从中点出发，都可以将梯形转化成长方形、平行四边形和三角形。总而言之，要将图形转化成长方形，一般从图形的高找直角，或者从图形某一边（或两边）的中点出发找直角，要将图形转化成平行四边形，一般从图形某一边（或两边）中点出发找平行线。教师如果能对类似的关键问题点拨到位，那么就为后面三角形和梯形的转化做好了渗透和铺垫。这实际上就是将图形之间的内在关系结构教给学生，学生把握了这个关系结构就为他们解决其他平面图形面积问题提供了转化的基本方法。

根据知识之间的结构关联性，可以循序渐进地教给学生平面图形面积计算的学习方法结构，也就是探究学习的三个具体步骤：第一步，掌握把未知转化成已知的方法，也就是从关键的点或线出发实现转化，这些经验的积累可以为学生实现转化提供具体的方法支撑。第二步，找到转化前后的关系，教师帮助学生明确“变”不是盲目随意的变，不是为了变而变，而是在“变”的基础上能找到变化前后的关系，这是很关键的一步。教师要努力引导学生发现图形转化前后线段之间的对应关系和面积的相等关系、加倍关系、减半关系，为学生获得结论提供有力的桥梁。第三步，利用转化前后的关系推出结论，前两步的最终目的是要获得未知图形面积计算的结论，根据转化前后的关系，可以用字母或文字的符号形式来表达从已知推理未知的过程，这是发展学生逻辑思维的重要资源和手段。学生掌握了这样的学习方法和步骤，就有可能主动探究其他图形的面积计算。

综上所述，整个单元的知识结构是一个大的整体，每一堂课也是一个完整的探索、学习的过程。教师在教学中要充分关注学生的能力发展：一是让学生自己尝试探究方法，充分发挥学生的自主探究能力。二是通过小组交流各种方法，畅通学生之间的交流和合作。三是在交流和反馈中发现问题，将思考放下去让学生自己再动手操作，再次感悟。在此基础上寻找每种方法之间的联系，有意识地引导学生整体思考问题，探寻各种转化方法的异同，体会转化背后的道理。从而帮助学生整体的把握和感知方法，加深对平面图形的特征的认识，也加深了平面图形之间关系的理解，有效培养学生的空间观念。

3．灵活结构，自主创造

根据知识结构的整体规划和学生能力发展的现实状态，整个教学长段并不是一成不变的程式化教学。每节课都应体现目标的递进和对学生当下状态的把握，具有灵活结构的特点。

这种灵活结构性表现在两个方面：一是教学目标递进的设计决定了每节课各有其培养的侧重点。长正方形的面积计算教学重在引导学生整体感悟图形最基本的度量单位和方法，区分一维周长计算和二维的面积计算之间的差异；平行四边形的面积计算重在转化策略和方法的体悟；三角形面积计算的教学重在引导学生发现图形转化前后的关系和用符号表示推理的结论；梯形面积计算重在巩固方法结构，梳理思维策略；圆的面积计算重在引导学生感悟化曲为直和无限逼近的数学思想。二是每节课教学的学生起点的差异：在平行四边形教学时，学生的差异是对转化方法和关键的差异，因此教学重在实践——体悟——再实践；在三角形的学习时，学生运用平行四边形学习中的学习方法结构和转化途径，有很多的方法出来，但由于所选材料（即三角形）类型的不同，又会发现许多不同，在此基础上，教师可以引导学生相互模仿实践同学的思路，并进一步反思自己的操作结果，用这种方法一定能转化成功吗？对所有的三角形都适用吗？学生受上节课的影响，还是局限在用一个三角形上。教师可以有意识地追问，把学生的思维从上节课的转化方式中拓展出来。因此，教师不仅要根据学生的起点状态进行针对性的教学，还要根据学生的现实状态不断做出方案上的动态调整，不仅要关注本堂课的目标达成情况，还要关注上节课目标要求能否在学生身上自觉地加以体现。教学的灵活结构性也就体现在如何处理这些差异和变化中。

四、典型案例与分析

案例一《平行四边形的面积计算》

 [教学目标]

1.通过实际操作、尝试，将平行四边形折叠、剪切、平移，转化成学过的长方形，了解转化的这一方法在平面图形中的运用。

2.引导学生观察总结转化的途径，发现高和中点在转化中的作用。

3.引导学生建立利用数据比较、探索新图形与已学图形之间关系的意识，从而找到平行四边形面积的计算方法，学会字母公式的表示方式。

[制定依据]

1.教材分析

本课内容主要引导学生探索和应用平行四边形的面积公式，教材安排了三个层次的内容：首先从比较图形面积是否相等入手，引导学生把稍复杂的图形转化成相对简单的、熟悉的图形，让学生初步感受转化方法在图形面积计算中的作用，为进一步的探索活动提供基本思路；接下来引导学生通过平移把平行四边形转化成长方形；最后探索平行四边形与转化成的长方形之间的联系。

2.学生分析

拿到一个平行四边形，约有一半学生经过预习或是受前面不规则图形转化学习的影响，能很快从高入手转化成功；还有部分学生受到启发，会进行模仿。然而，几乎所有的学生得到长方形后就认为已经完成了，没有意识去追究“为什么要转化” 这个角度去思考新旧图形之间的关系，更不会进一步思考“为什么能转化成功” 的道理，也不可能去自觉推导计算公式。大约六分之一的学生能够凭直觉折，把两边多余的两个角折进去或剪掉，在无意识的操作中偶尔有学生能转化成功，但折成的是比较复杂的减半的结果，他们更说不清转化成功的道理和转化前后的关系。甚至还有个别同学不仅没有方法，就连偶然的成功也没有体验。而对于转化前后图形关系的沟通和联系，由于学生第一次接触，只有一些零星的感觉，只能从点状的、不完整的描述中凑答案，缺少完整的思维过程。而根据已学过图形的计算公式去寻找新图形的对应量，并写出完整计算过程则需要比较严密的推理意识和推理能力，需要着力培养，也是起始课最难的地方。

[教学过程]

一、提供素材，引发猜想

教师出示一个长方形和一个平行四边形，请学生说说它们的面积分别是指什么？想一想，哪一个图形的面积你已经会求？怎样求？为什么可以这样求？请学生回忆面积的计算方法，观察长方形与平行四边形，发现其中关系。

二、操作验证，感悟方法

1.出示两个相关联的问题：你想把平行四边形转化成学过的什么图形？转化后的图形与平行四边形有什么关系？

学生可能情况预设：第一种沿高剪下一个直角，再平移到另一边，拼成一个长方形；第二种将两边凸出来的两个直角直接折进去，变成一个面积变小了的长方形。

2.先处理转化过程中面积不变的，帮助学生明确平移后面积相等。

（1）回顾思考：刚才转化过程中怎么剪就一定能拼成长方形？这其实就是平行四边形的什么？请学生上台展示自己的操作过程，说说自己的思考和结论。

（2）类比实践：为什么要沿着高剪？只有这一条高吗？只有这一组对边上有高吗？还能沿着怎样的高转化呢？教师再次放下去，请学生尝试沿着其他高剪能否转化成功。

请学生演示，（用肢体语言强有无数条高和两个方向上都有高）。

（3）引导反思：为什么沿着高剪一定能成功？如果学生有困难，可以讨论后再交流。

（4）启发拓展：如果把这条垂直线段继续向外推，你还能找到直角吗？还能转化成长方形吗？再给学生一些时间思考或实践。学生根据教师的提示不断深入思考，模仿操作。

收集学生的资源，（可能有不从中点剪，然后两次平移的，也可能有从中点剪了然后翻折的）请学生汇报自己的方法以及推导出的公式，教师着重抓住中点翻折的方法，追问：如果不从中点剪，拼上去会怎样？如果从中点剪两条边就一样长，说明这里就是这条边的中点。

3.再处理第二种面积改变了的，追问：这样转化可以吗？为什么？帮助学生明确转化不是盲目的，

而是要能够帮助我们求出原来图形的面积，它们之间必须有联系。

三、沟通关系，总结公式

1.提问：平行四边形可以转化成什么图形？新图形与原平行四边形有什么关系？平行四边形的面积你会求了吗？

学生观察新旧图形，利用表格，发现其中数据之间的关系。

2．根据这些数据之间的关系，你能写出平行四边形的面积计算公式？

请每个学生都尝试写一写。选择一个学生的作业，沟通和推导出平行四边形面积计算公式。

S平=S长=长×宽=底×高。

四、应用公式，解决问题

1．量一量：请学生量出手中两个平行四边形的相关数据，算出面积。再同桌交流。

2．画一画：请学生在方格纸中画出两个形状不同的平行四边形，使它们的面积和图中的长方形面积相等。

3．算一算：请学生根据图上信息，算出近似平行四边形的菜地的面积。

4．比一比：长方形框拉成平行四边形什么变了？什么没变？为什么？学生观察教师的操作过程，反复比较，讨论得出结论。

【评析】

第一环节旨在聚焦学习目标，对面积的意义以及当前要研究的面积有一个清晰的认识，并以一组图形激发学生的类比思考，激活学生的直觉猜想。这一活动不需要指名问答，只要安排学生相互指一指，说一说，并带着思考进入实践研究。

第二环节是本堂课的核心目标，它又分为两个层次：第一个层次达成知识底线，明白转化的方法和道理：前后面积必须保持不变，要沿着高剪才能出现直角，才能转化成长方形。第二层次提升能力底线，从课前的直觉模仿或偶然成功，到每一个学生都能找到转化的路径，并能找到无数条高，成功地把新图形转化成已知图形。

教学过程中教师的适时追问十分重要，第一次追问，学生由直觉地转化为长方形明晰为什么要这么做，渗透新知转化成旧知的研究路径。同样直觉地从高出发进行转化，在追问中明晰这么做的道理。第二次类比追问，使学生明确只要沿高剪都可以转化成功，进一步开发利用学生的模仿能力，让学生进行类比思考、模仿创造的机会，重在学生的体验，对猜想的验证。第三次拓展追问，为学生如何把平行四边形转化为长方形打开了思路，让学生对平面图形中特殊的点“中点”建立敏感，为后续三角形、梯形的面积学习进行方法孕伏。

第三环节是本课的高标要求，帮助学生明白转化前后图形的关系，学会寻找各部分之间的关系，会用算式表达出来。这一要求与转化的过程是紧密联系，不可分割的，每一次学生转化成功后，都可以请学生思考：转化前后的图形有什么联系？在对转化方法有了清晰的认识后再进行集中教学，用表格的形式找出转化前后相关联的量相对比较简单，但用公式表现出转化前后的关系还是比较困难的，可以在教师的带领下，先写出长方形的面积计算公式，再思考长是由什么转化而来的，宽是由什么转化而来的，由此得到一个平行四边形面积的计算公式。这样的推导过程是学生初次接触，而且不可能立即转化成自己的能力，还需要在后续的学习中不断地给予机会尝试和修正，并最终提升逻辑思维能力。

最后全课总结，师生合作一起提炼图形面积转化的方法结构：变已知、找关系、推公式。

可以说全课的一系列追问，都是为了帮助学生从偶然的转化成功中理解转化背后的道理。学生有了把未学过的图形转化成已学过图形的意识，初步感悟到不仅可以利用图形的高，还可以利用图形中点比较顺利的转化成以前学过的图形。而从方法到关系再到公式，更是一个艰难的台阶，从带着学生一步一步经历，到在老师的提醒下一步一步完成，直至自己建立一个整体的框架、建立自觉的意识，独立地去学习，融合的意识要贯穿始终。

教学活动结束后，教师要对这节课目标的达成情况做出分析，哪些目标是必须落实的，哪些已经落实的比较好，学生能纳入了自己的认识结构，将会在下节课中自觉运用。哪些地方还有不足，需要再加工，尤其是对为什么能转化成功、转化前后关系式的推导进行重点研究，如果大部分学生有困难的话，就利用练习时间或练习课再放下去体验，直至学生心中建立比较清晰的学习方法结构。

案例二《三角形的面积》

[教学目标]

1.在学习了平行四边形面积计算方法的基础上，进一步学习采用拼合、沿高或中点剪开的方法，自主探究三角形的面积计算公式。

2.在割补、拼剪的过程中渗透转化的数学思考方法，学会用数学语言把转化的方法和推理的过程清晰地表达出来。

[制定依据]

1.教材分析

三角形面积的计算是在平行四边形面积计算的基础上的后续学习，后面还有梯形面积计算公式的学习，本节课起承上启下的作用。本课内容主要引导学生探索和应用三角形的面积公式，教材是通过将平行四边形分成两个完全相同的三角形的方式来转化的，与上节课的转化方法没有延续和递进，无法帮助学生形成知识结构和方法结构。

2.学生分析

经过“平行四边形面积计算”的学习，学生已经能用语言表述出学习过程的结构。对利用两个完全相同的三角形进行转化的方法，学生通过预习及前期学习的积累知晓率较高，但学习的过程还会存在割裂的情况，只操作不动笔写。有一部分学生则由于受平行四边形转化方法的影响，会利用折来进行转化。仅有一小部分同学，能在平行四边形的学习后敏感地从高和中点出发去思考，尝试转化。约有三分之一的学生仍然会在转化成功后就坐在那儿没事可做，在教师的提醒下，会尝试去说关系，但完整地推导公式还有困难；约三分之一的学生已经具有了对图形关系的敏感，能主动推导公式，但由于三角形转化后有加倍、不变、减半等多种关系，转化前后各部分之间的关系比较复杂，公式推导过程中也会有一定困难或造成一些错误。另外，学生对转化结果还不能做到主动地分析比较，表面看到的只是多种不同的转化方法，至于方法与方法之间内在的联系不会去主动思考，归类的意识还比较缺乏，教师的过程性指导在本节课尤为重要。

[教学过程]

一、回顾结构，明确方向

提问：前两节课我们学习了平行四边形面积的计算，我们是怎样学习的？

请同桌先互相说说学习的方法，然后师生共同总结：在研究平行四边形面积计算的时候，我们先思考可以把平行四边形转化成什么图形？然后寻找平行四边形和转化后的长方形之间有怎样的关系，最后推导出了平行四边形面积的计算公式。

今天我们要运用这样的学习结构继续研究三角形面积的计算方法。（出示课题）

二、操作验证，总结公式

1.布置研究内容

你想把三角形转化成学过的什么图形？除了转化成长方形，还可以转化成昨天学过的平行四边形。转化前后的图形之间有什么关系？可以把自己的想法用图画出来，也可以借助三角形剪一剪，折一折。再写一写，怎样推导出三角形的面积？

学生尝试活动，教师巡视，观察学生的学习过程和转化方法。

2.交流基本方法

（1）如果有好多学生想出了两个完全一样的三角形拼成平行四边形的方法，展示这种方法，请没有想到的学生照着拼一拼，想一想，写一写。再组织学生交流。

（2）如果大部分学生想不到这种方法，教师展示拼法。并启发学生：有同学是这样转化的，你们试试也这样拼拼看，然后寻找转化后的图形与三角形之间的关系，试着写写他们之间的关系。在请学生交流所用的方法和前后关系、公式推导，教师帮助完善。

S三=S平÷2=底×高÷2=底×高÷2

    追问：为什么要除以2？为什么要写两个底和高？这两个底和高一样吗? (板书：完全一样)    

3．拓展其他方法

提问：我们利用两个完全一样的三角形拼成了以前学过的平行四边形，还有别的方法吗?我们再试着找找其他的方法。（抓住把一个三角形转化成平行四边形或长方形的方法，请学生一起尝试一下，并完成完整的学习过程）                                  

（1）黑板上展示学生的各种方法，组织小组活动：相互说说黑板上的每一种方法，那与第一种的方法比较呢？有什么相同的地方和不同的地方？

（可能情况预设：如果没有出现2、3两种方法，就问：三角形除了能转化成平行四边形推导出面积计算公式外，还能转化成什么图形，从而也能推导出三角形的面积计算公式呢？如果都出现了，就问：利用一个三角形你还有什么不同的方法转化出不同的结果来吗？请学生尝试，并适当提供样本参照，启发学生用一个三角形折成两个相等的长方形的方法。）

（2）请学生把这些方法分类，并说清分类的标准。

4.提问：我们是如何推导出三角形的面积计算公式的？你能用自己的语言把方法和转化前后的关系表述出来吗？

教师小结：这些方法最后都能得到三角形的面积计算公式   s=ah÷2

三、应用公式，解决问题

1．基本练习

（1）寻找对应的底和高，计算三角形的面积。

（2）判断哪几个三角形的面积是平行四边形的一半，并说说理由。

（3）在方格纸上画出三个面积是9平方厘米且形状不同的三角形。

2．总结：我们利用割补的方法把三角形转化成学过的长方形或平行四边形，解决了新问题，以后我们还要用这种思想方法继续学习梯形等图形的面积计算。课后可以试一试。课后独立尝试推导梯形面积计算方法。

【评析】

到三角形的面积计算，学生因为有了上节课平行四边形面积计算的基础，就可以放手让学生先自己来类比创造。在学生转化的过程中，提供的材料注意丰富，使探究具有普遍意义，直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等各种类型的都有涉及。整节课将想转化、找关系、推公式作为一个完整的学习过程有层次地推进。

受生活经验影响或是受上节课的影响，学生的转化方法可能还是点状的。教师应该在学生自主探究的时候有意识的追加一句：除了长方形（平行四边形）外，你还能拼折成其他的图形吗？拓展学生的思维，并将个别学生的方法介绍给全体学生，使每个人都充分经历动手、动脑、动笔的过程，有发现、有疑问、有参与、有对话、有提升。

探究设计可以分成两大块：一是自主探索，初步感悟。在学生自己对于研究的内容有了一定的理解、思考、结论之后，把学生的各种方法和结果尽可能地展示出来。在一种种不同方法的理解过程中慢慢明白，原来图形的转化都是要利用高或者中点、平行线这些特殊的点和线。二是合作交流，深化认识。在学生理解交流的基础上适时提升，提出第二个要求：寻找每种方法之间的联系，分分类。有意识地引导学生整体思考问题，探寻各种转化方法的异同，体会转化背后的道理。从而帮助学生整体把握和感知方法，加深对平面图形的特征的认识，也加深了对平面图形之间关系的理解。

在交流过程中，要关注根据学生的思维处理交流层次：先看学生最易于理解的面积加倍的。（两个完全相同的三角形拼成的平行四边形）；再看转化后面积一样的。（把上面的三角形剪下来，翻折、拼到下面成为平行四边形的）；最后看转化后面积不一样的。（折成两层长方形的，注意正反面颜色可以不一样，底的颜色也可以用两种不同颜色描一描，帮助学生理解一半的关系）。整个过程，由易到难，充分发展了学生的数学思维，并通过比较发现转化后的图形与三角形的关系可以是两倍，也可以相同，还可能是一半，但都可以通过寻找前后关系，推导得出三角形的计算公式：S三=底×高÷2

这一阶段的学习既是对已有方法结构的运用，又是建立和形成独特思维方式的过程，学生解决问题的方向性是否明确，有办法解决问题的认识是否增加，解决问题的方案是否丰富、多元，并能体会具体情境变化中的本质不变，是学生结构化认知的关键所在。

（ 常州市第二实验小学  孙敏 ）