图形与变换

“图形与变换”是“空间与图形”领域的内容之一，这部分内容努力体现运动变换的理念与思想，这也是与传统教材有较大差别的地方。“图形与变换”这一内容，要求学生“掌握平移变换、旋转变换和轴对称变换这三种全等变换和比例放大或缩小的相似变换”。 这些内容对学生认识丰富多彩的现实世界，形成初步的空间观念，以及对图形美的感受与欣赏都十分重要。在认识数学与现实世界的密切联系方面，“图形与变换”的作用是不可替代的；在构建直观、形象化的数学模型方面，“图形与变换”也有其独特作用。图形的直观，不仅为学生感受、理解抽象的观念提供了有力的支撑，有助于学生获得相应的知识和技能，而且能引导学生感受基本的数学思想方法，体验数学学习的乐趣，逐步积累数学活动经验，发展空间观念和自主创新的意识

我们先来整理一下小学各学段“图形与变换”这一部分的教学内容：

第一学段：

（1）结合实例，感知平移、旋转、对称现象。

（2）能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形。

（3）通过观察、操作，认识轴对称图形，并能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形。

第二学段：

（1）用折纸等方法确定轴对称图形的对称轴，能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形。

（2）能利用方格纸等形式将简单图形按一定比例放大或缩小，体会图形的相似。

（3）通过观察实例，认识图形的平移与旋转，能在方格纸上将简单图形平移或旋转90°。

（4）欣赏生活中的图案，灵活运用平移、对称和旋转在方格纸上设计图案。

从以上我们可以看出，这两个阶段的学习内容，呈现螺旋上升式的递进。第一学段从感知实际生活中的图形变换现象开始，学习特殊方向的平移，以及直观地认识轴对称图形。第二学段对平移、旋转、轴对称要求略有提高。主要是增加了90°的旋转，确定轴对称图形的对称轴，并能运用所学知识设计图案。学习这以内容需要学生综合运用有关的知识，还需要学生具有一定的创造力和想象力。

一、课型的主要特征

第一，注重学生动手操作。图形变换教学主要是让学生理解平移、旋转、轴对称图形的概念，在理解概念的基础上联系生活实际，感受生活中各种事物抽象的几何图形的变换。数学概念的形成、发展、生成都经历了数学家无数次的观察、分析、猜测、实验、判断、调整和优化等一系列的数学思维活动，尤其是图形变换的内容，更是要求学生从运动变化的角度去认识事物，这就要求学生的学习要动起来，通过动手操作等方式对这些数学概念有感性的认识，从而深入思考概念的内涵。

第二，凸现本质逐步抽象。几何图形是把具体的事物抽象、简化后的结果，对它的研究光凭学生动

手是不能够完全理解的，因此需要一种方式让学生把身边的事物抽象化，摆脱不必要的一些细节抓住本质来进行学习和研究。如在认识轴对称图形的时候，教材一般会把具体的图形展示出来让学生观察，有些学生会因为照片的一些细节而对轴对称的概念产生错误的理解，导致后面的学习出现误差。再例如学习旋转时，如果只是让学生动手比一比旋转的轨迹，简单判断，这对于旋转概念的理解就会有所失误。而如果能够在物体旋转的同时展示它的运动轨迹，学生对旋转概念的理解就会更加深入和透彻。

第三，提高认识事物能力。小学生正处在好奇心浓厚的阶段，通过图形的变换，可以引出无数美妙的图案，可以使数学更生动地与现实世界联系起来。从而诱发学生主动探索其中的奥秘，激励他们用图形变换的观点去审视周围的事物。通过感知和初步学习图形的变换，不仅有助于学生从运动变化的角度去认识事物，去了解图形之间的联系，从中发展他们的空间观念和几何直觉，而且还有利于学生感受、欣赏图形的美，感受数学与现实世界的联系，有利于他们体验学习“空间与图形”的乐趣，增强对数学的好奇心，激发创造潜能。

第四，提升教师学科素养。以往的中小学数学课程，在平面几何与立体几何中，一般只讨论图形的对称性，图形的平移变换与旋转变换，是在解析几何的坐标变换中讨论的。而在过去的一段时期内，坐标变换又被作为较高要求略去不讲。所以有关平面图形平移与旋转的知识成了多数小学教师数学知识的盲点。但为了让学生清晰地掌握这部分知识，教师需要努力提高学科素养，透彻地理解图形变换的有关概念。只有教师深入理解了，才能引导学生更好地学习“图形与变换”的知识。

二、课型的实施流程

在课程改革的今天，引入图形变换的内容到数学教学中，已经成为了数学教育的趋势。小学数学教学中主要引入了平移、旋转以及轴对称图形的概念，并要求学生通过感知和初步学习图形的变换，从运动

变化的角度去认识事物，了解图形之间的联系，从中发展他们的空间观念和几何直觉，感受、欣赏图形的美，感受数学与现实世界的联系。对于生活中常见的“图形的变换”，教学时我们应尽量与日常生活情境相结合，引导学生联系实际，丰富想象，在生活化教学中感知和认识图形的变换。教学情境的创设在教学、学习中有重要的作用。在“图形与变换”的教学中，情境创设不仅有助于反映图形变换与生活的联系，便于学生对知识进行重组与改造，而且容易帮助学生进行知识的同化与顺应，有助于促进学生进行思维联想，提高教学效果与学习效率。

 概念一般都以一种冷冰冰的姿态呈现在教材或者课堂上，但是数学概念的形成、发展、生成都经历了数学家无数次的观察、分析、猜测、实验、判断、调整和优化等数学思维活动。“图形与变换”这部分教学内容本身就是运动变化的，要使学生较好地理解图形与变换，必须鼓励学生动手操作、大胆实践。教学时，应多设计一些可操作的活动内容，让学生在个人动手操作、小组合作交流、集体科学验证等一系列的教学活动中逐步认识“图形与变换”。在课堂组织活动时．应注意处理好活动目的与活动内容的关系，每—个活动的设计都要有明确的目的，同时要多关注学生的思维发展。

数学模型是数学基础知识与数学应用之间的桥梁，建立和处理数学模型的过程，就是将数学理论知识应用于实际问题的过程。更为重要的是，学生能体会到从实际情景中发展数学，获得再创造数学的机会。有了“数学模型”它可以为学生解决同类数学问题指明方向，提供基本方法和解题策略，提供一种有数学价值的解决问题的模式，可以让学生在解决同类问题时运用，使解决问题更方便更快捷，从而达到提高解决问题效率的目的。如在认识平移这种基本的图形变换时，教师给学生提供充分的自主探索和交流的空间，引导学生看一看，数一数，说一说，论一论，让学生在交流碰撞中，自然而然地探讨平移的要素——方向与距离，探讨平移前后图形的两个对应点之间的关系，在这个过程中学生充分展示了自己的思维过程，也在交流和倾听中融会贯通，逐步建立了数学模型，在数学模型的建立的同时，学生还可以感受到图形的对称美、运动的变化美、规律的神奇美。

生活离不开数学，数学离不开生活。学生学习数学是“运用所学的数学知识和方法解决一些简单的实际问题的，必要的日常生活的工具。”图形的变换在生活中也是经常可见，我们在学生学习“图形与变换”的知识后，把数学知识与实际生活紧密联系起来，开展丰富多彩的实践活动，使学生有更多的机会接触生活和生产实践中的数学问题，在实践中不断增强数学意识，逐渐掌握数学思想。在学习了“平移和旋转”这两种图形变换后，让学生设计卫生间门，多数学生设计成平移门（左右平移的），还有个别学生设计成上下平移的门，也就是平常所说卷帘门；还有学生设计成拉门（利用平行四边形容易变形的原理）。在充分交流的基础上，一致认为具体问题要具体选择。在这个实践活动中，使学生自觉地把所学习的知识与现实中的事物建立联系，并融进了具体问题具体分析的数学思想。

    书本中的数学知识应与现实生活有着千丝万缕、天衣无缝的联系。但数学终究不等同于生活，他们是两个各自独立的概念。在数学教学过程中我们一方面要让学生结合自身的生活经验和已有的认知水平，围绕问题的解决，逐步把生活知识数学化，让学生在生活的实际情境中体验数学问题；另一方面，又要让学生能把所学到的数学知识自觉地运用到各种具体的生活实际问题中，实现数学知识生活化，从而提高学生数学素养。

“图形与变换”知识的拓展应用要体现学生学习的主体性，给学生独立思考的时间，让学生在独立解决问题的过程中体验数学思想和方法，形成技能，发展思维。拓展应用的评价要要有发展性，对学生的应用能力和应用效果要及时进行诊断评价，引导矫正，让学生在评价中发展，在评价中提高。

三、课型的实施要点

“图形与变换”课型的学习中，我们要注重学生几何思维的发展。荷兰数学教育家冯.希尔夫妇认为几何思维的发展可以区分出以下5个水平。

水平1：直观。学生能按照外观从整体上识别图形，这种识别活动常常依赖于具体的范例。这时学生并不关心各种图形的特征性质，也未能清楚地确定各种图形的性质。水平2：描述/分析。学生能确定图形的特征性质，并依据图形的性质来识别图形。但是学生尚不能清楚地指明两类图形的关系。水平3：抽象/关联。学生已经能形成抽象的定义，区分概念的必要条件和充分条件，并能通过非形式化推理将图形分类。但是学生尚不能理解逻辑推理是建立几何真理的方法。水平4：形式推理。学生已经能对公理化系统中的未定义项、定义、公理、定理作出明确区分，并能作出一系列命题对作为“已知条件”逻辑结论的某个命题进行证明，但这时推理的对象还只是图形性质之间的关系，学生还不能清楚地认识严密性的要求。水平5：严密性/元数学。这时学生即使不参照模型也能以较大的严密性进行推理，这时推理的对象是形式化构造之间的关系。

冯.希尔夫妇还认为，决定学生几何思维发展水平的主要因素并不是年龄或生物成熟程度，而主要取决于教学的性质。他们认为学生需要在教师的引导下通过以下5个阶段才能达到各个新的发展水平。阶段1：信息。学生开始熟悉相关内容。阶段2：定向指导。学生主动地进行探索，从而就能接触到所希望得到形成的关系网络的主要联系。阶段3：解释。在这一阶段学生开始清楚地认识到所要学习的关系，并用自己的语言对其作出描述。阶段4：自由定位。现在学生遇到了需要综合应用早先阐明的概念和关系来求解的问题。教师要鼓励学生对作出的问题和自己的解法作出反思和说明。阶段5：整合。学生对已学到的所有知识做出总结，并将其整合到一个易于描述和应用的网络之中。冯.希尔夫妇认为，就所学的题材而言，在“阶段5”完成以后，学生的思维就上升到了一个新的更高水平。

因此，我们在教学“图形与变换”课型时，要注意以下几点；

第一，重视学生对图形的直接感知。从国际上数学课程改革的历程来看，第二次世界大战以后，特别是在上世纪60年代的“新数学”改革的浪潮中，将运动观点引入几何，成了一种时尚。确实，图形的变换是研究几何问题的有效工具，引进变换能使图形动起来，有助于发现图形的几何性质。小学生正处在好奇心浓厚的阶段，通过图形的变换，可以引出无数美妙的图案，可以使数学更生动地与现实世界联系起来。从而诱发学生主动探索其中的奥秘，激励他们用图形变换的观点去审视周围的事物。

从儿童的生活世界来看，他们已经接触到了大量的物体、图形的平移、旋转或轴对称变换现象。例如，电梯、地铁列车在平行移动，时针、电风扇叶片在旋转，许多动物、建筑物的形状具有对称性。这些现象为儿童学习图形的变换提供了丰富多彩的现实背景。反过来，学习一点图形的变换知识，也有助于儿童更好地观察、认识周围生活中的这些现象。

第二，帮助学生经历概念的形成过程。在平时的教学讨论中我们不可忽视几何概念的形成过程。我们有部分教师可能有这样的想法：小学生年龄小，空间观念薄弱，对抽象的几何概念较难理解，所以学生只要记住教材中的定义，有个印象就行了，教师没有必要去重视它们的形成过程。其实，几何概念的形成过程非常重要，不容忽视。几何概念大多以概念形成为主。概念形成是一个累积、渐进的过程，是概念教学的中心环节。新的数学课程理念认为：过程本身就是一个课程目标。对于几何概念的教学，不注重过程，只注重结果，是一种形式上走捷径的教学，它剥离了知识与智慧的内在联系。如果教学时引导学生经历几何概念的形成过程，能促进学生更好的理解知识的发生过程和概念本身的内涵，从而加深对知识的理解和应用，更好地培养儿童的空间观念。

第三，充分了解学生准确定位目标。由于“图形与变换”课型的特殊，学生对这一知识的认识过程不能一次完成，往往需要多次反复，逐步加深理解，所以在《数学课程标准（实验稿）》中，与其他内容一样，图形与变换的具体目标也是分两个学段陈述的。

第一学段：

（1）结合实例，感知平移、旋转、对称现象。

（2）能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形。

（3）通过观察、操作，认识轴对称图形，并能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形。

第二学段：

（1）用折纸等方法确定轴对称图形的对称轴，能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形。

（2）能利用方格纸等形式按一定比例将简单图形放大或缩小，体会图形的相似。

（3）通过观察实例，认识图形的平移与旋转，能在方格纸上将简单图形平移或旋转90°。

（4）欣赏生活中的图案，灵活运用平移、对称和旋转在方格纸上设计图案。

显然，无论是第一学段，还是第二学段，都不要求对三种变换做出一般化的描述，更不要求给出定义。

从整体上看，整个小学阶段都只是初步认识图形的变换，上面摘录的这些具体目标可概括为：积累感性认识，形成初步表象，其外显的表现就是“能识别”、“会画图”。离定性的认识、定量的研究还有一定距离。

两个阶段的学习目标，呈现螺旋上升式的递进。第一学段从感知实际生活中的图形变换现象开始，学习特殊方向的平移，以及直观地认识轴对称图形。第二学段对平移、旋转、轴对称要求略有提高。主要是增加了90°的旋转，确定轴对称图形的对称轴，并能运用所学知识设计图案。同时还要求初步体会图形的相似。

两个阶段学习目标的递进又是细微的。有些光靠课程目标简练语言的描述还显不够。以画轴对称图形为例，第一学段“画出简单图形的轴对称图形”与第二学段“画出一个图形的轴对称图形”，有什么区别呢？考虑到小学以认识轴对称图形为主，关于直线对称的两个图形可以出现，但一般不要求学生画。所以，我们可以理解为，前者要求画出的图形比较简单；后者可以是一个有组合的图形。

更进一步的目标，就是灵活运用平移、对称和旋转在方格纸上设计图案。实现这一目标需要学生综合运用有关的知识，还需要学生具有一定的创造力和想象力。但由于设计图案的过程是开放的，不同的学生可以有不同的设计，不同的表现。因此这又是一个具有弹性的目标，能够体现学生学习与个性差异的目标。

第四，明晰教师对概念的正确理解。以往的中小学数学课程，在平面几何与立体几何中，一般只讨论图形的对称性，图形的平移变换与旋转变换，是在解析几何的坐标变换中讨论的。所以有关平面图形平移与旋转的知识成了多数小学教师数学知识的盲点。因此，尽管整个义务教育阶段都不要求从比较严格的几何变换定义出发来研究变换的性质，但为了搞好这部分内容的教学，教师有必要较透彻地理解图形变换的有关概念。

什么是变换？变换是近代数学中的重要基本概念之一。一般地说，所谓变换是指某个集合中符合一定要求的一种对应规律。就图形的变换来讲，因为几何图形都是点的集合，所以图形变换可以通过点的变换来实现。如果一个平面图形的每一个点，都对应于该平面内某个新图形的一个点，并且新图形中的每一个点只对应于原图形中的一个点，这样的对应就叫做变换。

几何变换中最重要的是全等变换与相似变换。能够保持图形的形状和大小不变的变换就是全等变换。在全等变换中，原图形任何两点之间的距离，都等于新图形中两对应点之间的距离，所以又称为保距变换。能够保持图形的形状不变，而只改变图形大小的变换就是相似变换。在相似变换中，原图形中所有角的大小都保持不变，所以又称为保角变换。

在小学数学中主要引进了平移变换、旋转变换和轴对称变换，这三种变换都是全等变换。相似变换只是在第二学段中有所渗透，如学习比例尺时两个图形按比例放大或缩小，实际上就是一种相似变换。

什么是平移变换、旋转变换和轴对称变换？如果原图形中任意一个点到新图形中相对应点的连线，方向相同，长度相等，这样的全等变换称为平移变换，简称平移。也就是说，平移的基本特征是，图形移动前后“每一点与它对应点之间的连线互相平行（或者重合），并且相等”。显然，确定平移变换需要两个要素：一是方向，二是距离。

如果新图形中的每个点都是由原图形中的一个点绕着一个固定点（叫做旋转中心）转动相等角度得到的，这样的全等变换称为旋转变换，简称旋转。也就是说，旋转的基本特征是，图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中连线的夹角都等于旋转的角度”。显然，确定旋转变换需要三个要素：旋转中心、旋转方向与旋转角度。

对称是一个许多学科都在使用的名词，在数学中它占有相当重要的地位。与对称有关的概念如对称多项式、对称空间、对称原理等等，都是数学中比较重要的概念。小学数学所讨论的，仅限于图形的对称，而且仅指平面图形关于一条直线的对称。至于图形的其他形形色色的对称，如旋转对称及其特例中心对称等等，都不在我们讨论的范围之类。

第五，充分给与自主探索交流空间。通过“图形与变换”课型的教学，发展学生的几何思维，被动听讲和练习为主的方式是难以完成的。培养空间观念、发展几何思维需要大量的实践活动。学生要有充分的时间和空间观察、测量、操作，这些活动既需要自主探索、亲身实践，更离不开学生一起动手共同参与。要注重学生的操作活动，从中体会变换的特征。当然，操作应该与适当的想象相结合。观察、操作、归纳、类比、猜测、变换对发展几何思维有重要的作用，只有在大家共同探讨、合作解决问题的过程中才能不断生成发展。合作交流可以使学生更明确自己对图形的看法，并有机会分享同学的想法。共性认识对培养空间观念、发展几何思维具有重要的意义。同时，我们要让学生学会用数学的眼光看待现实世界，从变换的角度欣赏图形，设计图形，发现其中蕴涵的对称美、和谐美、简单美，发挥自己的个性和创造力，体会创造的艰辛和乐趣。

总之，“图形与变换”的教学，应该从学生的生活经验和已有的知识基础出发，给学生呈现现实的、有意义的、富有挑战性的材料，提供充分的数学活动和充分的交流机会，引导他们在自主探索的过程中获得知识技能，掌握基本的数学思想和方法。

四、典型案例与分析

平移和旋转

【教材分析】

平移、旋转和轴对称是“空间与图形”领域中“图形与变换”部分的重要学习内容，根据《数学课程标准》的要求，结合学生认知发展的实际，苏教版课程标准小学数学实验教材分两段安排平移、旋转和轴对称图形的学习，第一段安排在三年级下册分两个单元学习“平移和旋转”以及“轴对称图形”。重点让学生感受生活中的平移、旋轴和对称现象，学习在方格纸上把一个图形进行水平或竖直方向的平移，初步认识轴对称图形，第二段，安排在四年级下册，结合已经认识的一些平面图形，进一步认识轴对称图形的对称轴，学习画一个轴对称图形的对称轴，学习在方格纸上设计简单的轴对称图形，进一步认识图形的平移和旋转学习，综合运用沿水平方向和竖直方向平移图形的方法，在方格纸上把一个图形平移到指定位置，学习在方格纸上把简单图形旋转90°。

本册教材的“平移和旋转”单元，分三个层次设计学习活动；第一层次引导学生观察一些熟悉物体的运动，联系实际生活经验，结合想像、初步认识生活中的平移和旋转现象；第二层次，通过观察和分析，引导学生初步认识平面图形的平移，判断几个简单的平面图形在方格纸上向什么方向平移几格，感受确定平移的两个要件是方向和距离；第三个层次，鼓励学生应用对平移的初步认识，尝试着在方格纸上把一个图形沿水平或竖直方向平移。本单元的最后，安排了实践活动“美丽的花边”，让学生在欣赏图案和简单设计的活动中， 进一步体会平移的特征，培养学生的动手实践能力和创新意识。

学习这些内容，有利于学生从运动变化的角度加深对平面图形的认识，发展几何直觉，增进对数学的理解；有利于学生进一步积累“空间与图形”的学习经验，更充分地感受观察、操作、实验、探索、合情推理等活动本身的价值；也有利于增强学生对数学的好奇心，体验“空间与图形”学习的乐趣，不断激发潜在的创造力，逐步形成创新意识。

【学生分析】

事实上，生活中有许多物体的运动都可以看作平移或旋转，而学生在生活中或多或少地接触过平移或旋转的现象，他们能较清楚地分辨出生活中物体的运动，哪些是平移，哪些是旋转，并能形象地、直观地描述物体平移、旋转的运动轨迹，平移是直线运动，旋转是曲线运动。但另一方面，生活中的平移或旋转现象，并不是数学意义上平面图形的平移或旋转。学生对物体平移的两个要件，方向和距离中的距离有误区，即对在方格纸上将一个平面图形平移若干小格存在一定困难。

教学内容：苏教版教科书第24~26页的例题和想想做做第1~5题。

教学目标：

1. 学生初步认识现实生活中物体的平移和旋转现象，能正确判断简单图形在方格纸上平移的方向和距离，初步建立图形的位置关系及其变化的表象；

2. 通过观察、操作等活动，使学生在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向或竖直方向平移后的图形；

3. 学生感受数学与生活的密切联系，体会运用数学知识可以解决生活中的简单实际问题。

教学准备：学生作业纸、多媒体课件

教学过程：

一、创设情境，感受平移和旋转

1. 谈话引入。

（1）谈话：（出示红梅公园的图片）这是什么地方？里面有好多好玩的游乐项目，想看吗？

现在我们就一起去看看，注意观察其中的一些物体是怎样运动变化的。

（2）播放录像：红梅公园中小火车、旋转木马、飓风飞椅、青蛙跳等游乐项目的动态画面。

（3）谈话：（同时出示4个静态的画面）这几种游乐项目中的物体分别是怎么运动的，请大家用手势比划比划。

（4）学生用手势表示物体的运动方式。

（5）谈话：这些物体的运动方式都有自己的特点，你能根据这些特点把它们分分类吗？先在小组里商量商量吧。

（6）反馈：你是怎么分的？你为什么要这样分？（学生交流分类方法及分类的理由）

2. 揭示课题。

（1）指出：像小火车和青蛙跳等两个游乐项目，物体都是沿着直线运动的，我们把这样的运动方式称为平移（板书：平移）；像旋转木马、飓风飞椅这些游乐项目，物体绕着一个点或一根轴转动的运动方式称为旋转（板书：旋转）。

（2）今天我们就一起来研究“平移和旋转”（板书：和）。

3. 练一练。

（1）出示“想想做做”第1题。

提问：我们先来看看这几幅图，你能说出哪些物体的运动是平移，哪些是旋转吗？

用手势表示：如果是平移用“—”，如果是旋转用“○”。（注意：手要举高，不用嘴）

抓住有变化的学生追问。

（2）联系生活，提问：生活中你还见到过哪些物体的运动方式是平移？哪些物体的运动方式是旋转的？组织学生进行交流

（3）欣赏图片和录像

师：看来，平移和旋转无处不在，其实，大自然对于平移与旋转的创造，还远不止这些，看啊，在雄壮的国歌声中鲜艳的五星红旗迎着清晨的第一道曙光缓缓升起，“神舟”七号带着我们中国人的希望，离开发射台，直冲太空，你一定能感受到平移的力量。奥运赛场上，链球运动员借助旋转的力量打破了奥运记录，再想想浩翰宇宙中的行星运转吧，你一定感受到旋转的神秘。同学们，其实数学就在我们身边！

（4）刚才我们已经认识了物体运动的两种方式“旋转”和“平移”，现在请大家闭上眼睛想一想，平移的物体是如何运动的，旋转的物体又是如何运动的？

（5）可以用自己的动作表演一下。

二、引导探究，认识平移的特征

1. 出示小房图（平移动画）

（1） 提问：小房图是向哪边平移的？（向右）平移几格呢？

注意:虚线表示平移前的位置，实线表示平移后的位置。

你是怎么观察判断的？先自己想想，可以在图上做个记号，然后和同桌商量一下。

学生交流，可能出现的答案：平移2格，平移4格，平移6格。

（2）自主探索：究竟哪种说法正确呢？交流：你是怎么证明的？（反馈时指着投影）（“4格“为什么错误？）

可能出现：

A、如果有学生找点，就指出“一组对应点”

B、如果有学生找边，就指出“一组对应边”

C、如果有学生移的是整个图形，就指出：我们用移图的办法研究了平移的距离。用这种方法

虽然能准确地得到结果，但是比较麻烦，我们可不可以只观察图的一部分，例如一条线或一个

点来研究呢？请同桌讨论。

根据学生的回答，课件演示:

（3）你找的是哪个点？它平移后的位置在哪里？平移了几格？还有谁和他找的点不同？

指出：不管找的是哪个点，都是向右平移了6格。

（4）我们再来看看，小房子到底向右平移了几格？课件一格一格演示平移，提问：你们发现了什么？

（5）小结：以后我们看一个图形平移了几格，只要在这个图形上找到一个点，看这个点平移了几格，那么它所在的图形就平移了几格。 （板书：对应点  平移几格  对应边  平移几格）

2. 出示金鱼图和火箭图

要求：用你认为简便的方法找出平移的距离。

（1）提问：仔细观察，这两个图形分别是向哪平移了几格，你是怎么想的？

（2）交流并校对。

（3）谈话：观察这三组图形，在平移前与平移后什么变了，什么没变？

（4）小结：物体或图形在平移后只是位置发生变化，大小和形状都没有变。

三、实践运用，画出平移后的图形

1. 谈话：刚才是根据平移的图形来判断它是怎么平移的，如果反过来给出平移的要求，你能画出平移后的图形吗？

2. 要求：边画边想：有什么好的方法，请你介绍与大家分享。

出示“试一试”：画出三角形向右平移6格后的图形

3. 交流：你是怎么画的？只选一个点行吗？学生中可能出现的画法有： ① 先把三角形的三个顶点都向右平移6格，再将三个点连线。② 先把一个点向右平移6格，再根据三个点的位置画出另外两个点，最后连线。③ 先把一条线段向右平移6格，再按这条线段的位置画出图形。

    ……

3. 小结：先在图形中选择几个点，把它按要求进行平移后，再连点成图形。（标方向）

（板书：选点    移点    连线）

4. 怎样检验画得对不对？有什么要提醒同学的？同桌交换检验，发现错误改正。

（引导学生发现：图形没变，但位置是改变了。）

4. 试一试：画出平行四边形平移后的图形，集体交流和校对。（学生介绍）

四、全课小结

我们一起走进了“平移与旋转”的世界。通过今天的学习，你有什么新的收获吗？你还想研究什么？

五、拓展应用

设计：学校新造的教学楼如何设计门窗，要采用平移式样的还是旋转式样的呢，为什么？

下课走出教室的过程中，请你想一想，你是怎样运动的呢，请你边走边想一想、说一说。

【评析】

平移和旋转是生活中常见的物体运动的两种不同方式，对学生来说这种物体运动的现象是可以观察、可以体悟得到的，但一般都是无意和无序的。本节内容是认识简单的平移和旋转现象，教材通过引导学生对生活中一些运动物体的平移和旋转运动现象的观察和思考，使学生认识平移和旋转这两种物体运动的方式，再通过组织学生寻找生活中物体的平移和旋转运动，帮助学生建构平移和旋转知识，建立和发展学生的空间观念。教材安排了两个例题，第一个例题选取学生熟悉的游乐项目运动实例为素材，让学生结合实际，观察和想象他们的运动特点，体会平移和旋转。第二个例题是把平面图形在方格纸上进行平移，引导学生观察图形平移的方向和距离并画出平移图。

本课的教学目标定为：通过实例观察，使学生初步认识物体或图形的平移和旋转现象，并能正确判断运动物体的平移和旋转运动方式，能判定平面图形在平面上平移的方向和距离，能在方格纸上将图形按要求进行平移，并画出平移图；通过联系生活，充分挖掘和利用学生的生活经验，使学生体会平移和旋转的特点，感受平移和旋转的运动过程，培养一定的空间观念；通过设计图案等活动，使学生初步感受平移在生活中的应用，并初步体验几何图形的美。

本课的教学重点、难点：使学生感受和认识运动物体中平移、旋转现象的运动特点，能正确判断物体的平移和旋转方式及平移的距离，学会在方格纸上将图形平移并画出平移图，培养和发展空间观念。

理解了教材的编排意图，教师根据自己班级学生的生活实际，对教学材料做了适当重构。以学生十分喜欢的红梅公园儿童乐园的游乐项目为背景展开教学活动，激起学生的学习情绪，唤起学生的生活经验，调动学生学习的主动性。虽然平移、旋转的现象在生活中随处可见，但平移旋转的特点要让学生用语言表述很难。在教学过程中，教师一边讲述，一边让学生用手势比划演示，以此弥补语言表达的不足。并让学生也用手势比划、演示平移、旋转的运动方式；让学生用眼观察、动手操作、自身体验这些现象，让学生在比划演示中感知平移、旋转的运动方式，加深对平移和旋转现象的理解，初步建立两种运动方式的数学模型。学生活动及师生互动都是建立在学生已有知识、经验及直观感知的基础上，形成了非常清晰的表象，使学生感受平移和旋转现象在生活中无处不在，加深了学生对数学与生活的联系，也可以使学生进一步理解平移与旋转现象，把握其特点，为后面教学小结平移与旋转的特点，作好充分的知识、思维、语言的储备。

本课的学习难点是理解平移的方向和距离。观察并判定平面图形在方格纸上平移的方向比较容易，而判定平移的距离是教学的一个难点，学生往往受近距离点之间的距离所干扰，造成误判。在难点突破的过程中，教师设计了学生的自主学习过程，先组织学生自由地呈现各自的思想，形成认知冲突，然后组织学生针对各种信息进行合作交流，探究平移的距离。在充分反馈学生思想方法的基础上，教师抓住实质利用多媒体动画进行图形平移，并引导学生寻找不同的对应点的移动距离，感受和发现平移前后两个图形之间的空格数，使平移生动、形象地展现在学生面前，学生对图形在方格纸上平移距离的判断实现了“面—线—点”的简化，有效地构建了判定图形平移距离的思想方法，加深了学生对概念的理解和运用的能力，突破了认知难点。

这是一节“图形与变换”课型的教学，本节课的教学最大的特点在于课堂上所呈现的都是比较典型的事例，便于学生观察和分析。教学时，教师没有做过多的理性分析和阐述，而是重视学生的感性认识，让学生在操作观察中去比较和体会平移和旋转现象的特点，让学生经历自主观察－探究－归纳－应用的整个过程。

通过教学，教者发现在教学中深入钻研教材是十分重要的，准确理解教材的编排意图是有效教学的前提。在理解编排意图之后，根据班级学生的生活实际和所教年级学生的认知规律，可以重新组织教学材料，重新建构教学过程，以达到有效教学的目的。

参考资料：

1. 郑毓信《数学思维与小学数学》2008年江苏教育出版社

2.  曹培英《“图形与变换”教学漫谈》

3.  孙笑天《空间观念的内容及意义的培养》

（ 常州市实验小学  杨侃 ）